Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

Determinar el plano que pasa por los puntos $P=(1,1,2)$ y $Q=(3,-1,1)$ y es paralelo a la recta $r\equiv x-1=y=z$. [2 puntos]

Un plano queda determinado por un punto y dos direcciones independientes. Aquí las direcciones son la que une los dos puntos dados y la de la recta, ya que ser paralelo a $r$ significa contener su dirección.

$\overrightarrow{PQ}=(3,-1,1)-(1,1,2)=(2,-2,-1)$

${\vec{v}}_r=(1,1,1)$

Los dos vectores no son proporcionales, así que determinan un plano. Su normal es el producto vectorial:

$\vec{n}=\overrightarrow{PQ}\times {\vec{v}}_r=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 2& -2& -1\\ 1& 1& 1\end{array}\mid =(-1,-3,4)$

Cambiando el signo, $\vec{n}=(1,3,-4)$, y el plano es

$\pi \equiv x+3y-4z+D=0$

Imponemos que pase por $P(1,1,2)$:

$1+3-8+D=0\Rightarrow D=4$

$\pi \equiv x+3y-4z+4=0$



Comprobamos las dos condiciones. Pasa por $Q(3,-1,1)$, ya que $3-3-4+4=0$; y es paralelo a $r$, porque la normal es ortogonal al director, $(1,3,-4)\cdot (1,1,1)=0$. Además la recta no está contenida en el plano, pues su punto $(1,0,0)$ da $1+0-0+4=5\mathrm{\ne }0$, de modo que el paralelismo es estricto.

El plano pedido es $\pi \equiv x+3y-4z+4=0$.