Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Calcular la ecuación del plano $\pi$ que es perpendicular al plano $\sigma \equiv x+2y+3z=0$ y pasa por los puntos $P=(0,0,0)$ y $Q=(0,1,1)$. [2 puntos]

El plano buscado contiene la dirección que une los dos puntos dados y, por ser perpendicular a $\sigma$, contiene también la dirección del vector normal de $\sigma$. Su normal es entonces el producto vectorial de ambas.

$\overrightarrow{PQ}=(0,1,1)-(0,0,0)=(0,1,1){\vec{n}}_{\sigma }=(1,2,3)$

${\vec{n}}_{\pi }=\overrightarrow{PQ}\times {\vec{n}}_{\sigma }=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 0& 1& 1\\ 1& 2& 3\end{array}\mid =(1,1,-1)$

$\pi \equiv x+y-z+D=0$

Como $P$ es el origen de coordenadas, el término independiente se anula:

$0+0-0+D=0\Rightarrow D=0$

$\pi \equiv x+y-z=0$



Comprobamos las dos condiciones. Pasa por $Q(0,1,1)$, ya que $0+1-1=0$; y es perpendicular a $\sigma$, porque sus normales son ortogonales:

${\vec{n}}_{\pi }\cdot {\vec{n}}_{\sigma }=(1,1,-1)\cdot (1,2,3)=1+2-3=0$

El plano pedido es $\pi \equiv x+y-z=0$.