Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

Sean las rectas $r\equiv {\displaystyle \frac{x}{4}}={\displaystyle \frac{y-1}{-2}}={\displaystyle \frac{z}{2}}$ y $s\equiv x-1={\displaystyle \frac{y-m}{m-1}}={\displaystyle \frac{z-3}{3}}$.

a) Comprobar que las rectas $r$ y $s$ se cortan para cualquier valor de $m$. [1,5 puntos]

b) Para $m=6$ hallar el punto de intersección de las rectas $r$ y $s$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Comprobar}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{rectas}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathit{s}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{cortan}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{cualquier}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathit{m}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Leemos de las ecuaciones continuas un punto y un vector director de cada recta.

$r:P_r(0,1,0),{\vec{v}}_r=(4,-2,2)$

$s:P_s(1,m,3),{\vec{v}}_s=(1,m-1,3)$

Dos rectas se cortan cuando tienen algún punto común y no son la misma. Aquí no hace falta resolver ningún sistema, porque al restar al punto de $s$ su propio vector director aparece justamente el punto de $r$:

$P_s-{\vec{v}}_s=(1,m,3)-(1,m-1,3)=(0,1,0)=P_r$

Es decir, el punto $P(0,1,0)$ pertenece a $s$ (se obtiene con el parámetro $-1$) y es el punto de partida de $r$. Las dos rectas pasan por él sea cual sea $m$.

Falta descartar que sean la misma recta, para lo cual basta ver que los directores no son proporcionales:

${\vec{v}}_r\times {\vec{v}}_s=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 4& -2& 2\\ 1& m-1& 3\end{array}\mid =(-2m-4,-10,4m-2)$

La segunda componente vale $-10$ cualquiera que sea $m$, así que el producto vectorial nunca es el vector nulo y los directores nunca son paralelos.



Al tener un punto común y direcciones distintas, $r$ y $s$ son secantes para todo $m\in \mathbb{R}$, y además se cortan siempre en el mismo punto.



Por el apartado anterior el punto es $P(0,1,0)$, pero lo confirmamos resolviendo el sistema. Escribimos las dos rectas en paramétricas con $m=6$:

$r\equiv \{\begin{array}{l}x=4t\\ y=1-2t\\ z=2t\end{array}s\equiv \{\begin{array}{l}x=1+u\\ y=6+5u\\ z=3+3u\end{array}$

Igualando las coordenadas:

$\{\begin{array}{l}4t=1+u\\ 1-2t=6+5u\\ 2t=3+3u\end{array}$

De la tercera ecuación, $u={\displaystyle \frac{2t-3}{3}}$; sustituyendo en la primera:

$12t=3+2t-3\Rightarrow 10t=0\Rightarrow t=0\Rightarrow u=-1$

Comprobamos que esos valores cumplen también la segunda ecuación, que es la que no se ha usado:

$1-2\cdot 0=16+5\cdot (-1)=1$

Llevando $t=0$ a la recta $r$, el punto de corte es $P(0,1,0)$.