Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2026

Dados el plano ${\pi }_1\equiv 2x-3y+z=a$ y el plano ${\pi }_2$ determinado por el punto $P(0,2,4)$ y los vectores directores ${\vec{v}}_1=(0,2,6)$ y ${\vec{v}}_2=(1,0,b)$, se pide:

a) Calcular los valores de $a$ y $b$ para que ${\pi }_1$ y ${\pi }_2$ sean paralelos y distintos. [0,75 puntos]

b) Para $a=1$ y $b=0$ determinar las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de ${\pi }_1$ y ${\pi }_2$. [0,75 puntos]

c) Para $a=4$ y $b=-2$ determinar los puntos que están a igual distancia de ${\pi }_1$ y ${\pi }_2$. [1 punto]

Dos planos son paralelos cuando sus vectores normales lo son, y distintos cuando ningún punto de uno pertenece al otro. Necesitamos, por tanto, un vector normal de ${\pi }_2$, que se obtiene como producto vectorial de sus dos vectores directores.

${\vec{n}}_{{\pi }_2}={\vec{v}}_1\times {\vec{v}}_2=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 0& 2& 6\\ 1& 0& b\end{array}\mid =(2b,6,-2)$

${\vec{n}}_{{\pi }_1}=(2,-3,1)$

Imponemos que sean proporcionales, ${\vec{n}}_{{\pi }_2}=\lambda {\vec{n}}_{{\pi }_1}$:

${\displaystyle \frac{2b}{2}}={\displaystyle \frac{6}{-3}}={\displaystyle \frac{-2}{1}}=\lambda \Rightarrow \lambda =-2\Rightarrow b=-2$

Con $b=-2$ el vector normal es ${\vec{n}}_{{\pi }_2}=(-4,6,-2)=-2(2,-3,1)$, y la ecuación de ${\pi }_2$ se determina imponiendo que pase por $P(0,2,4)$:

$-4\cdot 0+6\cdot 2-2\cdot 4=4\Rightarrow {\pi }_2\equiv -4x+6y-2z=4\Rightarrow {\pi }_2\equiv 2x-3y+z=-2$

Los dos planos tienen ya la misma parte lineal, así que serán distintos siempre que los términos independientes no coincidan.

Los planos son paralelos y distintos si $b=-2$ y $a\mathrm{\ne }-2$.



Con $b=0$ el vector normal de ${\pi }_2$ pasa a ser $(0,6,-2)$, que ya no es proporcional al de ${\pi }_1$: los planos se cortan en una recta.

$6\cdot 2-2\cdot 4=4\Rightarrow {\pi }_2\equiv 6y-2z=4\Rightarrow {\pi }_2\equiv 3y-z=2$

La recta es el conjunto de soluciones del sistema formado por las dos ecuaciones:

$\{\begin{array}{l}2x-3y+z=1\\ 3y-z=2\end{array}$

Sumando las dos ecuaciones desaparecen $y$ y $z$, y queda determinada la primera coordenada:

$2x=3\Rightarrow x={\displaystyle \frac{3}{2}}$

Tomamos $y=\lambda$ como parámetro y despejamos $z$ de la segunda ecuación:

$z=3\lambda -2$

$r\equiv \{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{3}{2}}\\ y=\lambda \\ z=-2+3\lambda \end{array}\lambda \in \mathbb{R}$

La recta intersección pasa por $({\displaystyle \frac{3}{2}},0,-2)$ y tiene como vector director $(0,1,3)$.



Con estos valores estamos en el caso del apartado a): los dos planos son paralelos y distintos.

${\pi }_1\equiv 2x-3y+z=4{\pi }_2\equiv 2x-3y+z=-2$

Imponemos la igualdad de distancias a un punto genérico $X(x,y,z)$. Como los dos planos comparten normal, los denominadores son iguales y se cancelan:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }2x-3y+z-4\mathrm{\mid }}{\sqrt{2^2+(-3{)}^2+1^2}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }2x-3y+z+2\mathrm{\mid }}{\sqrt{2^2+(-3{)}^2+1^2}}}$

$\mathrm{\mid }2x-3y+z-4\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }2x-3y+z+2\mathrm{\mid }$

Llamando $t=2x-3y+z$, la igualdad $\mathrm{\mid }t-4\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }t+2\mathrm{\mid }$ solo puede darse con signos opuestos, ya que $t-4=t+2$ es imposible:

$t-4=-(t+2)\Rightarrow 2t=2\Rightarrow t=1$

Los puntos buscados son los del plano paralelo a ambos que pasa por el punto medio, situado a

$d={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }4-1\mathrm{\mid }}{\sqrt{14}}}={\displaystyle \frac{3}{\sqrt{14}}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{14}}{14}}\text{ u}$

de cada uno de ellos.



Los puntos que equidistan de ${\pi }_1$ y ${\pi }_2$ son los del plano $\pi \equiv 2x-3y+z=1$.