Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Estudie el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvalo en los casos en que es compatible:

$\{\begin{array}{l}(a^2-2)x+2y+z=a+2\\ (a^2-2)x+4y+(a+1)z=a+6\\ (a^2-2)x+2y+(2-a)z=a+\sqrt{2}\end{array}$

Mencione el resultado teórico empleado y justifique su uso. [2,5 puntos]

El resultado teórico que se emplea es el teorema de Rouché-Frobenius: el sistema es compatible si y solo si el rango de la matriz de coeficientes coincide con el de la ampliada, y es determinado cuando ese rango común iguala al número de incógnitas e indeterminado cuando es menor.

Las tres ecuaciones tienen el mismo coeficiente en $x$, así que restamos la primera a las otras dos:

$\{\begin{array}{l}(a^2-2)x+2y+z=a+2\\ 2y+az=4\\ (1-a)z=\sqrt{2}-2\end{array}$

$M=\left(\begin{array}{ccc}{a}^2-2& 2& 1\\ a^2-2& 4& a+1\\ a^2-2& 2& 2-a\end{array}\right)\Rightarrow \mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}{a}^2-2& 2& 1\\ 0& 2& a\\ 0& 0& 1-a\end{array}\mid$

El determinante que queda es triangular:

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=(a^2-2)\cdot 2\cdot (1-a)=-2(a-1)(a^2-2)$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=1\\ a=\sqrt{2}\\ a=-\sqrt{2}\end{array}$

Si $a\mathrm{\ne }1,\pm \sqrt{2}$, entonces $\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y $\mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\mathrm{\prime }})=3=\text{nº de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$: el sistema es compatible determinado. Despejando en cadena a partir de las ecuaciones reducidas,

$z={\displaystyle \frac{\sqrt{2}-2}{1-a}}={\displaystyle \frac{2-\sqrt{2}}{a-1}},y={\displaystyle \frac{4-az}{2}},x={\displaystyle \frac{1}{a+\sqrt{2}}}$

Si $a=1$, la tercera ecuación reducida queda $0=\sqrt{2}-2$, que es falso porque $\sqrt{2}\mathrm{\ne }2$: el sistema es incompatible.

Si $a=-\sqrt{2}$, se anula $a^2-2$ y desaparece la incógnita $x$. De la tercera ecuación reducida, $(1+\sqrt{2})z=\sqrt{2}-2$, es decir,

$z={\displaystyle \frac{\sqrt{2}-2}{1+\sqrt{2}}}=(\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}-1)=2-\sqrt{2}-2\sqrt{2}+2=4-3\sqrt{2}$

y de la segunda, $2y=4+\sqrt{2}z$. Llevando estos valores a la primera ecuación original, $2y+z=2-\sqrt{2}$, se comprueba que no se cumple, de modo que $\mathrm{ran}(M)=2\mathrm{\ne }3=\mathrm{ran}(M^{\mathrm{\prime }})$ y el sistema es incompatible.

Si $a=\sqrt{2}$, también desaparece $x$ y el sistema se reduce a

$\{\begin{array}{l}2y+z=2+\sqrt{2}\\ 4y+(1+\sqrt{2})z=6+\sqrt{2}\\ 2y+(2-\sqrt{2})z=2\sqrt{2}\end{array}$

Restando la primera de la tercera, $(1-\sqrt{2})z=\sqrt{2}-2=\sqrt{2}(1-\sqrt{2})$, luego $z=\sqrt{2}$; sustituyendo en la primera, $2y=2\Rightarrow y=1$, valores que también cumplen la segunda. Como $\mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\mathrm{\prime }})=2<3$, el sistema es compatible indeterminado:

$\{\begin{array}{l}x=\lambda \\ y=1\\ z=\sqrt{2}\end{array}\lambda \in \mathbb{R}$

En resumen: el sistema es compatible determinado para todo $a\mathrm{\ne }1,\pm \sqrt{2}$, incompatible para $a=1$ y para $a=-\sqrt{2}$, y compatible indeterminado con un grado de libertad para $a=\sqrt{2}$.