Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Considere el siguiente sistema de ecuaciones:

$\{\begin{array}{l}mx+2y+z=1\\ 2x+my+z=m\\ 5x+2y+z=1\end{array}$, donde $m\in \mathbb{R}$.

a) Discutir el sistema de ecuaciones según los valores del parámetro $m$, indicando el número de soluciones en cada caso. [1,5 puntos]

b) Resolver, razonadamente, el sistema de ecuaciones para $m=3$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Discutir}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{seg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{m}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{indicando}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{soluciones}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{caso.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius, comparando el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada.

$A=\left(\begin{array}{ccc}m& 2& 1\\ 2& m& 1\\ 5& 2& 1\end{array}\right)A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}m& 2& 1& 1\\ 2& m& 1& m\\ 5& 2& 1& 1\end{array}\right)$

Desarrollamos el determinante de $A$ por la primera fila:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=m\mid \begin{array}{cc}m& 1\\ 2& 1\end{array}\mid -2\mid \begin{array}{cc}2& 1\\ 5& 1\end{array}\mid +\mid \begin{array}{cc}2& m\\ 5& 2\end{array}\mid =m(m-2)-2(-3)+(4-5m)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=m^2-7m+10=(m-2)(m-5)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}m=2\\ m=5\end{array}$

Si $m\mathrm{\ne }2$ y $m\mathrm{\ne }5$, el determinante no se anula y

$\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=3=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

luego el sistema es compatible determinado y tiene una única solución.

Para $m=2$ la matriz ampliada queda

$\left(\begin{array}{cccc}2& 2& 1& 1\\ 2& 2& 1& 2\\ 5& 2& 1& 1\end{array}\right)$

Las dos primeras filas de $A$ son iguales, pero los términos independientes no: la primera y la segunda ecuación se contradicen. En términos de rangos,

$\mid \begin{array}{cc}2& 2\\ 5& 2\end{array}\mid =4-10=-6\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2$

$\mid \begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 2& 1& 2\\ 5& 1& 1\end{array}\mid =2+10+2-5-4-2=3\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A^{\ast })=3$

Los rangos son distintos: el sistema es incompatible y no tiene solución.

Para $m=5$ la matriz ampliada queda

$\left(\begin{array}{cccc}5& 2& 1& 1\\ 2& 5& 1& 5\\ 5& 2& 1& 1\end{array}\right)$

Ahora la primera y la tercera filas son iguales también en el término independiente, así que la tercera ecuación es la primera repetida y sobra.

$\mid \begin{array}{cc}5& 2\\ 2& 5\end{array}\mid =25-4=21\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=2$

$\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=2<3=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

El sistema es compatible indeterminado, con un grado de libertad: tiene infinitas soluciones que dependen de un parámetro.



Como $m=3$ no es ninguno de los dos valores críticos, $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=(3-2)(3-5)=-2\mathrm{\ne }0$ y el sistema es compatible determinado.

$\{\begin{array}{l}3x+2y+z=1\\ 2x+3y+z=3\\ 5x+2y+z=1\end{array}$

La primera y la tercera ecuación solo se diferencian en el coeficiente de $x$, de modo que restándolas se obtiene esa incógnita de golpe:

$(5x+2y+z)-(3x+2y+z)=1-1\Rightarrow 2x=0\Rightarrow x=0$

Sustituyendo en la primera y la segunda ecuación queda un sistema de dos por dos:

$\{\begin{array}{l}2y+z=1\\ 3y+z=3\end{array}$

$(3y+z)-(2y+z)=3-1\Rightarrow y=2\Rightarrow z=1-2\cdot 2=-3$

La solución, única, es $x=0$, $y=2$, $z=-3$, como se comprueba sustituyendo en la segunda ecuación: $0+6-3=3$.