Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Considerar el siguiente sistema de ecuaciones:

$\{\begin{array}{l}(m-10)x-2y-z=-1\\ 7x+(m+2)y+2z=m+1\\ 5x+2y+z=1\end{array}$, donde $m\in \mathbb{R}$.

a) Discutir el sistema de ecuaciones según los valores del parámetro $m$. [1,5 puntos]

b) Resolver, razonadamente, el sistema de ecuaciones para $m=3$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Discutir}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{seg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{m}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Es un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, así que lo discutimos con el teorema de Rouché-Frobenius: comparamos el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada.

$A=\left(\begin{array}{ccc}m-10& -2& -1\\ 7& m+2& 2\\ 5& 2& 1\end{array}\right)A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}m-10& -2& -1& -1\\ 7& m+2& 2& m+1\\ 5& 2& 1& 1\end{array}\right)$

Empezamos por el determinante de la matriz de coeficientes, desarrollándolo por la primera fila.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=(m-10)\mid \begin{array}{cc}m+2& 2\\ 2& 1\end{array}\mid +2\mid \begin{array}{cc}7& 2\\ 5& 1\end{array}\mid -\mid \begin{array}{cc}7& m+2\\ 5& 2\end{array}\mid$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=(m-10)(m-2)+2(-3)-(4-5m)=m^2-7m+10$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow (m-2)(m-5)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}m=2\\ m=5\end{array}$

Si $m\mathrm{\ne }2$ y $m\mathrm{\ne }5$, entonces $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y, como la ampliada tiene a lo sumo rango 3, se cumple

$\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=3=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

y el sistema es compatible determinado.

Para $m=2$ la matriz ampliada queda

$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}-8& -2& -1& -1\\ 7& 4& 2& 3\\ 5& 2& 1& 1\end{array}\right)$

$\mid \begin{array}{cc}-8& -2\\ 7& 4\end{array}\mid =-32+14=-18\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2$

Orlamos ese menor con la columna de términos independientes:

$\mid \begin{array}{ccc}-8& -2& -1\\ 7& 4& 3\\ 5& 2& 1\end{array}\mid =-32-30-14+20+48+14=6\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A^{\ast })=3$

$\mathrm{ran}(A)=2\mathrm{\ne }3=\mathrm{ran}(A^{\ast })\Rightarrow$ el sistema es incompatible.

Para $m=5$ la matriz ampliada queda

$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}-5& -2& -1& -1\\ 7& 7& 2& 6\\ 5& 2& 1& 1\end{array}\right)$

Aquí no hace falta orlar ningún menor, porque la primera fila es la tercera cambiada de signo:

$F_1=-F_3\Rightarrow$ la primera ecuación y la tercera son la misma, y el sistema se reduce a dos ecuaciones independientes.

$\mid \begin{array}{cc}-5& -2\\ 7& 7\end{array}\mid =-35+14=-21\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=2$

$\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=2<3=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}\Rightarrow$ el sistema es compatible indeterminado, con un grado de libertad.

En resumen: el sistema es compatible determinado si $m\mathrm{\ne }2$ y $m\mathrm{\ne }5$, incompatible si $m=2$ y compatible indeterminado si $m=5$.



Como $m=3$ no es ninguno de los dos valores críticos, $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=(3-2)(3-5)=-2\mathrm{\ne }0$ y el sistema es compatible determinado. Lo resolvemos por la regla de Cramer.

$\{\begin{array}{l}-7x-2y-z=-1\\ 7x+5y+2z=4\\ 5x+2y+z=1\end{array}$

$x={\displaystyle \frac{\mid \begin{array}{ccc}-1& -2& -1\\ 4& 5& 2\\ 1& 2& 1\end{array}\mid }{-2}}={\displaystyle \frac{0}{-2}}=0$

$y={\displaystyle \frac{\mid \begin{array}{ccc}-7& -1& -1\\ 7& 4& 2\\ 5& 1& 1\end{array}\mid }{-2}}={\displaystyle \frac{-4}{-2}}=2$

$z={\displaystyle \frac{\mid \begin{array}{ccc}-7& -2& -1\\ 7& 5& 4\\ 5& 2& 1\end{array}\mid }{-2}}={\displaystyle \frac{6}{-2}}=-3$

La solución para $m=3$ es única y vale $x=0$, $y=2$, $z=-3$.