Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

a) Dado $k\in \mathbb{R}$, se considera el sistema de ecuaciones

$\{\begin{array}{l}kx-y-z=1\\ x+ky+2kz=k\end{array}$

Discutir el sistema según los valores del parámetro $k\in \mathbb{R}$ y resolverlo para $k=-1$. [1,5 puntos]

b) Sea $A$ una matriz cuadrada que verifica $A^2=I+3A$, donde $I$ denota la matriz identidad. Demostrar que el determinante de $A$ no es cero y expresar $A^{-1}$ en función de $A$ y de $I$. [1 punto]

Se trata de dos ecuaciones con tres incógnitas, de modo que ni la matriz de coeficientes ni la ampliada pueden tener rango mayor que $2$.

$A=\left(\begin{array}{ccc}k& -1& -1\\ 1& k& 2k\end{array}\right)A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}k& -1& -1& 1\\ 1& k& 2k& k\end{array}\right)$

El rango de $A$ solo puede bajar de $2$ si sus dos filas son proporcionales. Supongamos que $(k,-1,-1)=\lambda (1,k,2k)$; las dos últimas componentes exigen

$\{\begin{array}{l}-1=\lambda k\\ -1=2\lambda k\end{array}$

y restando, $0=\lambda k=-1$, que es imposible. Las filas no son proporcionales para ningún valor de $k$, luego

$\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=2<3=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

Sea cual sea $k$, el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad: tiene infinitas soluciones que dependen de un parámetro. No hay, pues, ningún valor de $k$ que lo haga incompatible ni determinado.

Para $k=-1$ el sistema es

$\{\begin{array}{l}-x-y-z=1\\ x-y-2z=-1\end{array}$

Sumando las dos ecuaciones desaparece $x$:

$-2y-3z=0\Rightarrow y=-{\displaystyle \frac{3z}{2}}$

Para evitar denominadores tomamos como parámetro $z=2\lambda$, con lo que $y=-3\lambda$, y despejamos $x$ de la primera ecuación:

$x=-1-y-z=-1+3\lambda -2\lambda =-1+\lambda$

$\{\begin{array}{l}x=-1+\lambda \\ y=-3\lambda \\ z=2\lambda \end{array}\lambda \in \mathbb{R}$

Se comprueba en la segunda ecuación, que no se ha usado para despejar: $(-1+\lambda )+3\lambda -4\lambda =-1$.

Las soluciones para $k=-1$ son los infinitos puntos de la recta $(-1+\lambda ,-3\lambda ,2\lambda )$.



La idea es sacar factor común $A$ en la relación dada para dejar un producto que valga la identidad, porque entonces el otro factor es la inversa.

$A^2-3A=I$

$A(A-3I)=I$

Tomando determinantes y usando que el determinante de un producto es el producto de los determinantes:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\cdot \mid A-3I\mid =\mathrm{\mid }I\mathrm{\mid }=1$

Un producto de dos números vale $1$ solo si ninguno de ellos es cero, luego $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y la matriz es invertible.

Sabido eso, multiplicamos por $A^{-1}$ por la izquierda en la igualdad $A(A-3I)=I$:

$A^{-1}A(A-3I)=A^{-1}\Rightarrow A-3I=A^{-1}$

$A^{-1}=A-3I$