Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

a) Discutir según los valores del parámetro $\lambda$ el siguiente sistema: [1,2 puntos]

$\{\begin{array}{l}\lambda x+y-z=1\\ -x+y+2z=0\\ 2y+\lambda z=1\end{array}$

b) Resolverlo para $\lambda =1$. [0,8 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Discutir}}\mathbf{\text{seg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{\lambda }\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{siguiente}}\mathbf{\text{sistema.}}\mathbf{\text{[1,2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius comparando los rangos de la matriz de coeficientes y de la ampliada.

$A=\left(\begin{array}{ccc}\lambda & 1& -1\\ -1& 1& 2\\ 0& 2& \lambda \end{array}\right)A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}\lambda & 1& -1& 1\\ -1& 1& 2& 0\\ 0& 2& \lambda & 1\end{array}\right)$

Desarrollamos el determinante por la primera columna, que ya tiene un cero:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\lambda \mid \begin{array}{cc}1& 2\\ 2& \lambda \end{array}\mid +1\mid \begin{array}{cc}1& -1\\ 2& \lambda \end{array}\mid =\lambda (\lambda -4)+(\lambda +2)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }={\lambda }^2-3\lambda +2=(\lambda -1)(\lambda -2)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}\lambda =1\\ \lambda =2\end{array}$

Si $\lambda \mathrm{\ne }1$ y $\lambda \mathrm{\ne }2$, el determinante no se anula y

$\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=3=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

luego el sistema es compatible determinado.

Para $\lambda =1$ la matriz ampliada es

$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& -1& 1\\ -1& 1& 2& 0\\ 0& 2& 1& 1\end{array}\right)$

y se observa que la tercera fila es la suma de las otras dos, también en el término independiente: la tercera ecuación es consecuencia de las dos primeras y sobra.

$\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\mid =2\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=2<3$

El sistema es compatible indeterminado, con un grado de libertad.

Para $\lambda =2$ la matriz ampliada es

$\left(\begin{array}{cccc}2& 1& -1& 1\\ -1& 1& 2& 0\\ 0& 2& 2& 1\end{array}\right)$

$\mid \begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 1\end{array}\mid =3\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2$

Orlamos ese menor con la columna de términos independientes:

$\mid \begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ -1& 1& 0\\ 0& 2& 1\end{array}\mid =2+0-2+1-0-2\cdot 0=1\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A^{\ast })=3$

Los rangos no coinciden: el sistema es incompatible.

En resumen: compatible determinado si $\lambda \mathrm{\ne }1$ y $\lambda \mathrm{\ne }2$, compatible indeterminado si $\lambda =1$ e incompatible si $\lambda =2$.



Por el apartado anterior la tercera ecuación es redundante, así que resolvemos las dos primeras.

$\{\begin{array}{l}x+y-z=1\\ -x+y+2z=0\end{array}$

Sumándolas desaparece $x$:

$2y+z=1\Rightarrow z=1-2y$

y sustituyendo en la primera ecuación se despeja $x$:

$x=1-y+z=1-y+1-2y=2-3y$

Tomando $y=\mu$ como parámetro:

$\{\begin{array}{l}x=2-3\mu \\ y=\mu \\ z=1-2\mu \end{array}\mu \in \mathbb{R}$

Se comprueba en la tercera ecuación, que es la que se ha descartado: $2\mu +(1-2\mu )=1$.

Las soluciones para $\lambda =1$ son los infinitos puntos de la recta $(2-3\mu ,\mu ,1-2\mu )$.