Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

a) Discutir según los valores del parámetro $\lambda$ el sistema de ecuaciones lineales siguiente: [1,2 puntos]

$\{\begin{array}{l}x-y+z=0\\ 2x+y-z=0\\ x+y+\lambda z=0\end{array}$

b) Resolverlo para $\lambda =-1$. [0,8 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Discutir}}\mathbf{\text{seg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{\lambda }\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{lineales}}\mathbf{\text{siguiente.}}\mathbf{\text{[1,2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El sistema es homogéneo, de modo que siempre es compatible: la solución trivial lo cumple. Lo que decide el número de soluciones es el rango de la matriz de coeficientes.

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 2& 1& -1\\ 1& 1& \lambda \end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=1\mid \begin{array}{cc}1& -1\\ 1& \lambda \end{array}\mid +1\mid \begin{array}{cc}2& -1\\ 1& \lambda \end{array}\mid +1\mid \begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\mid$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=(\lambda +1)+(2\lambda +1)+1=3\lambda +3=3(\lambda +1)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow \lambda =-1$

Si $\lambda \mathrm{\ne }-1$, entonces $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y

$\mathrm{ran}(A)=3=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

luego el sistema es compatible determinado y su única solución es la trivial $x=y=z=0$.

Si $\lambda =-1$:

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 2& 1& -1\\ 1& 1& -1\end{array}\right)\mid \begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 1\end{array}\mid =3\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2$

$\mathrm{ran}(A)=2<3\Rightarrow$ el sistema es compatible indeterminado, con un grado de libertad: además de la trivial tiene infinitas soluciones.



Por el apartado anterior el rango es $2$, así que trabajamos con dos ecuaciones independientes, por ejemplo las dos primeras.

$\{\begin{array}{l}x-y+z=0\\ 2x+y-z=0\end{array}$

Sumándolas desaparecen $y$ y $z$ a la vez:

$3x=0\Rightarrow x=0$

y la primera ecuación queda $-y+z=0$, es decir, $z=y$. Tomando $y=t$ como parámetro:

$\{\begin{array}{l}x=0\\ y=t\\ z=t\end{array}t\in \mathbb{R}$

Se comprueba en la tercera ecuación, que es la que no se ha usado: $0+t-t=0$.

Las soluciones son los infinitos puntos de la recta $(0,t,t)$.