Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

a) Discutir el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro $\lambda$: [1,2 puntos]

$\{\begin{array}{l}\lambda x+y=1\\ x+\lambda y+z=2\\ x+y+z=2\end{array}$

b) Resolverlo para $\lambda =1$. [0,8 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Discutir}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{lineales}}\mathbf{\text{seg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{\lambda }\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius comparando los rangos de la matriz de coeficientes y de la ampliada.

$A=\left(\begin{array}{ccc}\lambda & 1& 0\\ 1& \lambda & 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}\lambda & 1& 0& 1\\ 1& \lambda & 1& 2\\ 1& 1& 1& 2\end{array}\right)$

Desarrollamos el determinante por la primera fila, aprovechando el cero:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\lambda \mid \begin{array}{cc}\lambda & 1\\ 1& 1\end{array}\mid -1\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\mid =\lambda (\lambda -1)-0$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }={\lambda }^2-\lambda =\lambda (\lambda -1)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}\lambda =0\\ \lambda =1\end{array}$

Si $\lambda \mathrm{\ne }0$ y $\lambda \mathrm{\ne }1$, el determinante no se anula y

$\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=3=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

luego el sistema es compatible determinado.

Para $\lambda =0$ la matriz ampliada es

$\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 1\\ 1& 0& 1& 2\\ 1& 1& 1& 2\end{array}\right)$

En la matriz de coeficientes la tercera fila es la suma de las dos primeras, pero en los términos independientes no ocurre lo mismo: $1+2=3\mathrm{\ne }2$. Las tres ecuaciones son, pues, contradictorias.

$\mid \begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\mid =-1\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2$

$\mid \begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 2\\ 1& 1& 2\end{array}\mid =0+2+1-0-0-2=1\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A^{\ast })=3$

Los rangos no coinciden: el sistema es incompatible.

Para $\lambda =1$ la matriz ampliada es

$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 1\\ 1& 1& 1& 2\\ 1& 1& 1& 2\end{array}\right)$

Ahora la segunda y la tercera filas son idénticas, también en el término independiente, de modo que una de las dos ecuaciones sobra.

$\mid \begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\mid =1\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=2<3$

El sistema es compatible indeterminado, con un grado de libertad.



Prescindimos de la tercera ecuación, que repite la segunda.

$\{\begin{array}{l}x+y=1\\ x+y+z=2\end{array}$

Restando la primera de la segunda queda determinada la tercera incógnita:

$z=1$

y de la primera se despeja $y$ en función de $x$. Tomando $x=t$ como parámetro:

$\{\begin{array}{l}x=t\\ y=1-t\\ z=1\end{array}t\in \mathbb{R}$

Se comprueba en la tercera ecuación: $t+(1-t)+1=2$.

Las soluciones para $\lambda =1$ son los infinitos puntos de la recta $(t,1-t,1)$.