Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Dado el sistema $\{\begin{array}{l}2x+2my-z=0\\ x+2y+mz=0\\ x-my+mz=0\end{array}$

a) Discuta el sistema según los distintos valores de $m$. [1 punto]

b) Resuelva el sistema si $m=-2$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Discuta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{seg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{distintos}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{m}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El sistema es homogéneo, luego siempre es compatible: la solución trivial $(0,0,0)$ lo cumple. Lo que hay que decidir es si es la única, y eso lo dice el rango de la matriz de coeficientes.

$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 2m& -1\\ 1& 2& m\\ 1& -m& m\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=2\mid \begin{array}{cc}2& m\\ -m& m\end{array}\mid -2m\mid \begin{array}{cc}1& m\\ 1& m\end{array}\mid -\mid \begin{array}{cc}1& 2\\ 1& -m\end{array}\mid$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=2(2m+m^2)-2m\cdot 0-(-m-2)=2m^2+5m+2$

$2m^2+5m+2=0\Rightarrow m={\displaystyle \frac{-5\pm \sqrt{25-16}}{4}}={\displaystyle \frac{-5\pm 3}{4}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}m=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ m=-2\end{array}$

Si $m\mathrm{\ne }-2$ y $m\mathrm{\ne }-{\displaystyle \frac{1}{2}}$, entonces $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y

$\mathrm{ran}(A)=3=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

de modo que el sistema es compatible determinado y su única solución es la trivial.

Si $m=-2$:

$A=\left(\begin{array}{ccc}2& -4& -1\\ 1& 2& -2\\ 1& 2& -2\end{array}\right)\mid \begin{array}{cc}2& -4\\ 1& 2\end{array}\mid =8\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2$

Si $m=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$:

$A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& -1\\ 1& 2& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ 1& {\displaystyle \frac{1}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)\mid \begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 2\end{array}\mid =5\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2$

En los dos casos $\mathrm{ran}(A)=2<3$ y el sistema es compatible indeterminado, con un grado de libertad: además de la trivial tiene infinitas soluciones.



$\{\begin{array}{l}2x-4y-z=0\\ x+2y-2z=0\\ x+2y-2z=0\end{array}$

La tercera ecuación es la segunda repetida, así que trabajamos solo con las dos primeras y tomamos $z$ como parámetro.

De la segunda ecuación:

$x=-2y+2z$

Sustituyendo en la primera:

$2(-2y+2z)-4y-z=0\Rightarrow -8y+3z=0\Rightarrow y={\displaystyle \frac{3z}{8}}$

Para evitar denominadores tomamos $z=8\lambda$, con lo que $y=3\lambda$ y

$x=-6\lambda +16\lambda =10\lambda$

$\{\begin{array}{l}x=10\lambda \\ y=3\lambda \\ z=8\lambda \end{array}\lambda \in \mathbb{R}$

Comprobamos en la primera ecuación: $20\lambda -12\lambda -8\lambda =0$.

Las soluciones para $m=-2$ son los infinitos puntos de la recta $(10\lambda ,3\lambda ,8\lambda )$.