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Examen de Matemáticas II de Navarra 2023 (convocatoria extraordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Navarra, convocatoria extraordinaria de 2023. Aquí hay 8 ejercicios publicados, 8 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Sistemas de ecuaciones

Estudie el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real

a

y resuélvalo en los casos en que sea compatible:

{\begin{cases} a x + y - 2 z = 1 \\ 3 a x + a^{2} y - 2 a^{2} z = 3 \\ - a x - y + (a^{2} - 1) z = a + \sqrt{3} - 1 \end{cases}

Mencione el resultado teórico empleado y justifique su uso. [2,5 puntos]

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Ejercicio 2: Matrices

Calcule el valor de

a

para que la siguiente matriz no sea regular:

A = (\begin{array}{cccc} - 3 & 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & 0 & 1 & a + 3 \\ - 3 & 1 & 2 & 2 \\ - 2 & 0 & 2 & 2 \end{array})

[2,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Rectas y Planos

Halle la ecuación continua de la recta que pasa por el punto

P (- 3, - 2, 3)

y que corta a las rectas

r

s

, siendo

r \equiv {\begin{cases} x + y - z - 1 = 0 \\ x - y + 2 z + 1 = 0 \end{cases}

s \equiv \frac{x - 3}{- 1} = \frac{y + 5}{2} = \frac{z + 3}{1}

[2,5 puntos]

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Ejercicio 4: Rectas y Planos

Halle el plano paralelo a

r

s

que se encuentra a

3 u

r

6 u

s

, siendo

r \equiv {\begin{cases} 2 x - y + 2 z + 7 = 0 \\ 5 x + 2 y + 2 z - 2 = 0 \end{cases}

s \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 3}{0} = \frac{z - 5}{- 1}

[2,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Derivadas

Calcule las derivadas de las siguientes funciones y sus valores en el punto

x = 0

:

a)

f (x) = \ln [\cos (π x) \cdot e^{x^{2} + 2 x}]

[1,25 puntos]

b)

g (x) = \arctan \sqrt{1 + 2 x + e^{2 x}}

[1,25 puntos]

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Límites y continuidad

Se considera la función

f (x) = \frac{\cos [\frac{π}{2} (x - 1)]}{x^{2} - 6 x + 10}

.

a) Estudie la continuidad de la función en el intervalo

[1, 4]

. [0,75 puntos]

b) Compruebe que existen dos valores

α

β

en el intervalo

(1, 4)

tales que

f (α) = \frac{- 1}{2} = f (β)

. Enuncie el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifique su uso. [1,75 puntos]

Ver la solución del ejercicio 6

Ejercicio 7: Derivadas

Se considera la función

f (x) = \sqrt{\frac{1}{2} - \sin \frac{π x}{6}}

.

a) Demuestre que la función es continua en el intervalo

[7, 11]

y derivable en

(7, 11)

. [1,25 puntos]

b) Compruebe que existe un valor

α \in (7, 11)

tal que

f^{'} (α) = 0

. Enuncie el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifique su uso. [1,25 puntos]

Ver la solución del ejercicio 7

Ejercicio 8: Integrales y Áreas

La curva de la imagen corresponde a la función

f (x) = x \cdot \sin x

. Tal y como se intuye, la curva corta el eje

O X

en infinitos puntos:

Figura del ejercicio

Encuentre los puntos

P

Q

, y, a continuación, calcule el área de la región del plano sombreada. [2,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 8

Examen de Matemáticas II de Navarra 2023 (convocatoria extraordinaria)

Ejercicio 1: Sistemas de ecuaciones

Ejercicio 2: Matrices

Ejercicio 3: Rectas y Planos

Ejercicio 4: Rectas y Planos

Ejercicio 5: Derivadas

Ejercicio 6: Límites y continuidad

Ejercicio 7: Derivadas

Ejercicio 8: Integrales y Áreas

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