Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Halle el plano paralelo a $r$ y $s$ que se encuentra a $3u$ de $r$ y $6u$ de $s$, siendo

$r\equiv \{\begin{array}{l}2x-y+2z+7=0\\ 5x+2y+2z-2=0\end{array}$ y $s\equiv {\displaystyle \frac{x-1}{2}}={\displaystyle \frac{y+3}{0}}={\displaystyle \frac{z-5}{-1}}$ [2,5 puntos]

El plano buscado es paralelo a las dos rectas, así que su vector normal es perpendicular a los dos directores: lo obtenemos con el producto vectorial.

La recta $r$ viene dada como intersección de dos planos, de normales ${\vec{n}}_1=(2,-1,2)$ y ${\vec{n}}_2=(5,2,2)$, luego su director es

${\vec{v}}_r={\vec{n}}_1\times {\vec{n}}_2=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 2& -1& 2\\ 5& 2& 2\end{array}\mid =(-6,6,9)\parallel (-2,2,3)$

De $s$ leemos directamente ${\vec{v}}_s=(2,0,-1)$ y el punto $S(1,-3,5)$.

$\vec{n}={\vec{v}}_r\times {\vec{v}}_s=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -2& 2& 3\\ 2& 0& -1\end{array}\mid =(-2,4,-4)\parallel (1,-2,2)$

El plano es, pues, de la forma

$\pi :x-2y+2z+D=0\mid \vec{n}\mid =\sqrt{1+4+4}=3$

Necesitamos un punto de $r$. Haciendo $z=0$ en sus dos ecuaciones,

$\{\begin{array}{l}2x-y+7=0\\ 5x+2y-2=0\end{array}\Rightarrow y=2x+7\Rightarrow 5x+4x+14=2\Rightarrow x=-{\displaystyle \frac{4}{3}},y={\displaystyle \frac{13}{3}}$

$R(-{\displaystyle \frac{4}{3}},{\displaystyle \frac{13}{3}},0)$

Como la recta es paralela al plano, su distancia a él es la de cualquiera de sus puntos:

$d(r,\pi )={\displaystyle \frac{\mid -\frac{4}{3}-\frac{26}{3}+0+D\mid }{3}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }D-10\mathrm{\mid }}{3}}=3\Rightarrow \mathrm{\mid }D-10\mathrm{\mid }=9\Rightarrow \{\begin{array}{l}D=19\\ D=1\end{array}$

$d(s,\pi )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }1+6+10+D\mathrm{\mid }}{3}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }D+17\mathrm{\mid }}{3}}=6\Rightarrow \mathrm{\mid }D+17\mathrm{\mid }=18\Rightarrow \{\begin{array}{l}D=1\\ D=-35\end{array}$

El único valor que cumple las dos condiciones a la vez es $D=1$.



Comprobamos el resultado. El plano es paralelo a las dos rectas, porque su normal es perpendicular a los dos directores:

$\vec{n}\cdot {\vec{v}}_r=(1,-2,2)\cdot (-2,2,3)=-2-4+6=0\vec{n}\cdot {\vec{v}}_s=(1,-2,2)\cdot (2,0,-1)=2+0-2=0$

y las distancias son las pedidas:

$d(r,\pi )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }1-10\mathrm{\mid }}{3}}=3d(s,\pi )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }1+17\mathrm{\mid }}{3}}=6$

Además $D-10=-9<0$ y $D+17=18>0$, de modo que las dos rectas quedan en semiespacios distintos: el plano pasa entre ellas.

El plano pedido es $\pi :x-2y+2z+1=0$.