Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Calcule la ecuación general del plano $\pi$ perpendicular al plano $\alpha \equiv 2x-y-z-1=0$, sabiendo que contiene al punto $P(-1,2,1)$ y que la intersección de ambos planos es paralela a la siguiente recta:

$r\equiv \{\begin{array}{l}x+y-2z-3=0\\ y-z-3=0\end{array}$ [2,5 puntos]

De los datos sacamos dos condiciones sobre el vector normal del plano buscado, ${\vec{n}}_{\pi }$.

i) $\pi$ es perpendicular a $\alpha$, y dos planos son perpendiculares cuando lo son sus normales:

${\vec{n}}_{\pi }\perp {\vec{n}}_{\alpha }=(2,-1,-1)$

ii) La intersección de $\pi$ y $\alpha$ es paralela a $r$. Esa intersección está contenida en los dos planos, luego su dirección es perpendicular a las dos normales; en particular

${\vec{n}}_{\pi }\perp {\vec{v}}_r$

Calculamos el director de $r$ como producto vectorial de las normales de los planos que la definen:

${\vec{v}}_r=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 1& -2\\ 0& 1& -1\end{array}\mid =(1,1,1)$

—obsérvese que ${\vec{v}}_r\cdot {\vec{n}}_{\alpha }=2-1-1=0$, es decir, $r$ ya es paralela a $\alpha$, como tiene que ser para que el enunciado sea coherente—.



Al ser perpendicular a los dos vectores, ${\vec{n}}_{\pi }$ es su producto vectorial:

${\vec{n}}_{\pi }={\vec{n}}_{\alpha }\times {\vec{v}}_r=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 2& -1& -1\\ 1& 1& 1\end{array}\mid =(0,-3,3)\parallel (0,-1,1)$

Imponemos que el plano pase por $P(-1,2,1)$:

$\pi :0(x+1)-(y-2)+(z-1)=0\Rightarrow -y+z+1=0\Rightarrow \pi :y-z-1=0$

Comprobamos las dos condiciones. La perpendicularidad:

${\vec{n}}_{\pi }\cdot {\vec{n}}_{\alpha }=(0)(2)+(-1)(-1)+(1)(-1)=0+1-1=0$

y el paralelismo de la intersección con $r$:

${\vec{n}}_{\alpha }\times {\vec{n}}_{\pi }=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 2& -1& -1\\ 0& -1& 1\end{array}\mid =(-2,-2,-2)\parallel (1,1,1)={\vec{v}}_r$

La ecuación general del plano pedido es $\pi :y-z-1=0$.