Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Encuentre los puntos de la recta $r\equiv \{\begin{array}{l}3x-y+z-6=0\\ x-y+3z-8=0\end{array}$ que son centro de una esfera de radio 3, tangente al plano $\pi \equiv 2x+2y-z-7=0$. [2,5 puntos]

Una esfera de radio 3 es tangente al plano cuando la distancia de su centro al plano vale exactamente 3. El centro, además, ha de estar en la recta $r$, así que basta imponer esa condición sobre un punto genérico de $r$.

Escribimos la recta en paramétricas. Su director es el producto vectorial de las normales de los dos planos que la definen:

${\vec{v}}_r=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 3& -1& 1\\ 1& -1& 3\end{array}\mid =(-2,-8,-2)\parallel (1,4,1)$

Un punto se obtiene con $z=0$:

$\{\begin{array}{l}3x-y=6\\ x-y=8\end{array}\Rightarrow 2x=-2\Rightarrow x=-1,y=-9$

$r\equiv \{\begin{array}{l}x=-1+t\\ y=-9+4t\\ z=t\end{array}$



Imponemos la tangencia, con $\mid {\vec{n}}_{\pi }\mid =\sqrt{4+4+1}=3$:

$d(C,\pi )={\displaystyle \frac{\mid 2(-1+t)+2(-9+4t)-t-7\mid }{3}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }9t-27\mathrm{\mid }}{3}}=3\mathrm{\mid }t-3\mathrm{\mid }=3$

$\mathrm{\mid }t-3\mathrm{\mid }=1\Rightarrow \{\begin{array}{l}t-3=1\Rightarrow t=4\\ t-3=-1\Rightarrow t=2\end{array}$

Sustituyendo cada valor en la recta:

$t=4\Rightarrow C_1(3,7,4)t=2\Rightarrow C_2(1,-1,2)$

Comprobamos las dos distancias:

$d(C_1,\pi )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }6+14-4-7\mathrm{\mid }}{3}}={\displaystyle \frac{9}{3}}=3d(C_2,\pi )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }2-2-2-7\mathrm{\mid }}{3}}={\displaystyle \frac{9}{3}}=3$

Los dos puntos son simétricos respecto del punto en que $r$ corta al plano, que corresponde a $t=3$, uno a cada lado.

Los centros pedidos son $C_1(3,7,4)$ y $C_2(1,-1,2)$.