Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Los puntos $A\equiv (-1,2,1)$ y $B\equiv (2,5,1)$ son dos vértices de un cuadrado. Halle los otros dos vértices sabiendo que están en la recta de ecuación

$r\equiv {\displaystyle \frac{x}{-1}}={\displaystyle \frac{y-4}{1}}={\displaystyle \frac{z+1}{-4}}$ [2,5 puntos]

Lo primero es averiguar si $A$ y $B$ son vértices contiguos o vértices opuestos, porque el planteamiento es distinto en cada caso.

$\overrightarrow{AB}=(2,5,1)-(-1,2,1)=(3,3,0)\mid \overrightarrow{AB}\mid =\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}$

De la recta leemos $R(0,4,-1)$ y ${\vec{v}}_r=(-1,1,-4)$, con $\mid {\vec{v}}_r\mid =\sqrt{1+1+16}=3\sqrt{2}$.

Calculamos el punto medio de $\overline{AB}$:

$M=({\displaystyle \frac{-1+2}{2}},{\displaystyle \frac{2+5}{2}},{\displaystyle \frac{1+1}{2}})=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{7}{2}},1)$

y comprobamos que pertenece a $r$: con el parámetro $\lambda =-\frac{1}{2}$ se obtiene

$(-(-\frac{1}{2}),4-\frac{1}{2},-1-4(-\frac{1}{2}))=(\frac{1}{2},\frac{7}{2},1)=M$

Además la recta es perpendicular al segmento, porque

${\vec{v}}_r\cdot \overrightarrow{AB}=-3+3+0=0$

Es decir, $r$ es la mediatriz de $\overline{AB}$ en el plano del cuadrado: $A$ y $B$ no pueden ser contiguos —si lo fueran, los otros dos vértices estarían sobre una paralela a $\overline{AB}$—, sino que son vértices opuestos y $\overline{AB}$ es una diagonal.



En un cuadrado las dos diagonales miden lo mismo, se cortan en su punto medio y son perpendiculares. Los otros dos vértices son, por tanto, los puntos de $r$ que distan de $M$ media diagonal:

${\displaystyle \frac{\mid \overrightarrow{AB}\mid }{2}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{2}}$

Como $\mid {\vec{v}}_r\mid =3\sqrt{2}$, avanzar esa distancia es sumar o restar la mitad del director:

$C,D=M\pm {\displaystyle \frac{1}{2}}{\vec{v}}_r=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{7}{2}},1)\pm {\displaystyle \frac{1}{2}}(-1,1,-4)=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{7}{2}},1)\pm (-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}},-2)$

$C(0,4,-1)D(1,3,3)$

Comprobamos que el cuadrilátero $ACBD$ es efectivamente un cuadrado: los cuatro lados miden lo mismo,

$\mid \overrightarrow{AC}\mid =\mathrm{\mid }(1,2,-2)\mathrm{\mid }=3\mid \overrightarrow{CB}\mid =\mathrm{\mid }(2,1,2)\mathrm{\mid }=3\mid \overrightarrow{BD}\mid =\mathrm{\mid }(-1,-2,2)\mathrm{\mid }=3\mid \overrightarrow{DA}\mid =\mathrm{\mid }(-2,-1,-2)\mathrm{\mid }=3$

y las diagonales son iguales y perpendiculares: $\mid \overrightarrow{CD}\mid =\mathrm{\mid }(1,-1,4)\mathrm{\mid }=3\sqrt{2}=\mid \overrightarrow{AB}\mid$.

Los otros dos vértices del cuadrado son $C(0,4,-1)$ y $D(1,3,3)$, y el cuadrado tiene lado 3.