Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

El plano $\pi$ pasa por los puntos $P_1(2,0,5)$, $P_2(1,-2,2)$ y $P_3(3,-1,2)$. Una esfera con centro en $C(0,1,-3)$ toca al plano en un único punto. Calcule el radio de la esfera y el punto de intersección. [2,5 puntos]

Que la esfera toque al plano en un único punto quiere decir que es tangente a él, y eso ocurre exactamente cuando el radio coincide con la distancia del centro al plano; el punto de contacto es entonces el pie de la perpendicular trazada desde el centro.

i) Hallamos primero el plano. Con dos vectores del plano,

$\overrightarrow{P_1{P}_2}=(-1,-2,-3)\overrightarrow{P_1{P}_3}=(1,-1,-3)$

$\vec{n}=\overrightarrow{P_1{P}_2}\times \overrightarrow{P_1{P}_3}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -1& -2& -3\\ 1& -1& -3\end{array}\mid =(3,-6,3)\parallel (1,-2,1)$

$\pi :(x-2)-2(y-0)+(z-5)=0\Rightarrow \pi :x-2y+z-7=0$

Se comprueba que los tres puntos lo cumplen: $P_2:1+4+2-7=0$ y $P_3:3+2+2-7=0$.



ii) El radio es la distancia del centro al plano:

$R=d(C,\pi )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }0-2\cdot 1+(-3)-7\mathrm{\mid }}{\sqrt{1+4+1}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }-12\mathrm{\mid }}{\sqrt{6}}}={\displaystyle \frac{12}{\sqrt{6}}}=2\sqrt{6}\approx \mathrm{4,899}$

iii) El punto de tangencia es el corte con $\pi$ de la recta que pasa por $C$ con dirección $\vec{n}$:

$X(0+k,1-2k,-3+k)$

$k-2(1-2k)+(-3+k)-7=0\Rightarrow k-2+4k-3+k-7=0\Rightarrow 6k=12\Rightarrow k=2$

$k=2\Rightarrow T(2,-3,-1)$

Comprobamos que la distancia de $C$ a ese punto es el radio:

$\overrightarrow{CT}=(2,-4,2)\Rightarrow \mid \overrightarrow{CT}\mid =\sqrt{4+16+4}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$

El radio de la esfera es $2\sqrt{6}\approx \mathrm{4,899}$ unidades y el punto de contacto es $T(2,-3,-1)$.