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Examen de Matemáticas II de Navarra 2020 (convocatoria ordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Navarra, convocatoria ordinaria de 2020. Aquí hay 8 ejercicios publicados, 8 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Sistemas de ecuaciones

Estudie el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real

a

y resuélvalo en los casos en que es compatible:

{\begin{cases} (a + 1) x + (a^{2} + a) y = 2 \\ (- a - 1) x - a^{2} y = 0 \\ a y + (a^{2} - 1) z = 3 - a \end{cases}

Mencione el resultado teórico empleado y justifique su uso. [2,5 puntos]

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Ejercicio 2: Rectas y Planos

Calcule la ecuación continua de una recta

r

sabiendo que corta a la recta

s \equiv {\begin{cases} 3 x + y - z - 7 = 0 \\ x + y - 5 = 0 \end{cases}

, es paralela al plano de ecuación

π \equiv 2 x - y + 3 z - 6 = 0

y pasa por el punto

P \equiv (- 1, 3, 1)

. [2,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Límites y continuidad

Calcule los siguientes límites:

\lim_{x \to 1} {(2 + \sin \frac{3 π x}{2})}^{\frac{1}{x^{2} - x}}

[1,25 puntos]

\lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x^{4} - x^{2} + 1} - \sqrt{x^{4} - 7})

[1,25 puntos]

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Ejercicio 4: Derivadas

Sea la función

f (x) = {(1 + \sin \frac{π x}{2})}^{x}

.

a) Demuestre que la función es continua en el intervalo

[1, 2]

. [0,75 puntos]

b) Demuestre que existe

α \in (1, 2)

tal que

f^{'} (α) = 0

. Enuncie los resultados teóricos empleados y justifique su uso. [1,75 puntos]

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Matrices

Sean

A

B

dos matrices de tamaño

3 \times 3

tales que

∣ A ∣ = ∣ B ∣ = \frac{1}{2}

. Calcule

∣ C ∣

teniendo en cuenta que la matriz

C

es la siguiente:

C = (2 \cdot A^{t} \cdot B^{- 1})^{2}

[2,5 puntos]

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Ejercicio 6: Rectas y Planos

Los puntos

A \equiv (- 1, 2, 1)

B \equiv (2, 5, 1)

son dos vértices de un cuadrado. Halle los otros dos vértices sabiendo que están en la recta de ecuación

r \equiv \frac{x}{- 1} = \frac{y - 4}{1} = \frac{z + 1}{- 4}

[2,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 6

Ejercicio 7: Derivadas

Sea la función

f (x) = (x + 3)^{\sin (π x)} \cdot \ln (x^{2} - x + 2)

.

a) Demuestre que la función es continua en el intervalo

[- 1, 0]

. [1 punto]

b) Demuestre que existe

α \in (- 1, 0)

tal que

f^{'} (α) = - \ln 2

. Enuncie los resultados teóricos empleados y justifique su uso. [1,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 7

Ejercicio 8: Integrales y Áreas

Encuentre los dos puntos en que se cortan las gráficas de estas dos funciones:

f (x) = \sin (π x)

g (x) = ∣ x^{2} - x ∣

. Calcule el área de la región del plano encerrada entre ambas gráficas. [2,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 8