Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · Navarra · 2020

Sea la función $f(x)={(1+\sin {\displaystyle \frac{\pi x}{2}})}^x$.

a) Demuestre que la función es continua en el intervalo $[1,2]$. [0,75 puntos]

b) Demuestre que existe $\alpha \in (1,2)$ tal que $f^{\mathrm{\prime }}(\alpha )=0$. Enuncie los resultados teóricos empleados y justifique su uso. [1,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Demuestre}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{continua}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">[</mo><mn\; mathvariant="bold">1</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">2</mn><mo\; stretchy="false">]</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}$

Es una potencia de base y exponente variables, continua allí donde la base es positiva y las dos funciones son continuas.

Cuando $x$ recorre $[1,2]$, el ángulo $\frac{\pi x}{2}$ recorre $[\frac{\pi }{2},\pi ]$, donde el seno va de 1 a 0 sin hacerse negativo. La base cumple, pues,

$1\le 1+\sin {\displaystyle \frac{\pi x}{2}}\le 2$

y en particular es siempre positiva. El exponente, $x$, es continuo. Por tanto $f$ es continua en $[1,2]$, y por lo mismo derivable en $(1,2)$.



Aquí no sirve el teorema de Rolle, porque los valores en los extremos no coinciden:

$f(1)={(1+\sin {\displaystyle \frac{\pi }{2}})}^1=2^1=2f(2)={(1+\sin \pi )}^2=1^2=1$

Se usan, en cambio, dos resultados encadenados.

i) El teorema de Weierstrass: una función continua en un intervalo cerrado y acotado alcanza en él su máximo y su mínimo absolutos. Como $f$ es continua en $[1,2]$, existe un punto donde alcanza el máximo absoluto.

ii) Ese máximo no puede estar en los extremos, porque en el punto medio la función vale más:

$f\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)={(1+\sin {\displaystyle \frac{3\pi }{4}})}^{3\mathrm{/}2}={(1+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}})}^{3\mathrm{/}2}\approx \mathrm{2,2305}>2=f(1)>1=f(2)$

Luego el máximo absoluto se alcanza en un punto interior $\alpha \in (1,2)$.

iii) El teorema del extremo interior —o condición necesaria de extremo relativo—: si una función derivable alcanza un extremo en un punto interior de su dominio, la derivada se anula en él. Como $f$ es derivable en $(1,2)$, resulta

$f^{\mathrm{\prime }}(\alpha )=0$

Existe, pues, al menos un punto $\alpha \in (1,2)$ en el que la derivada se anula.