Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · Navarra · 2020

Sea la función $f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{3}}+\ln {\displaystyle \frac{x^2+2}{3}}& x<1\\ {\displaystyle \frac{x^2}{3}}& x\ge 1\end{array}$.

a) Demuestre que la función es derivable en todo $\mathbb{R}$. [1 punto]

b) Demuestre que existe un valor $\alpha \in (0,2)$ tal que $f^{\mathrm{\prime }}(\alpha )=1$. Enuncie el(los) resultado(s) teórico(s) utilizado(s) y justifique su uso. [1,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Demuestre}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{derivable}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{todo}}\mathbb{R}\mathbf{\text{.}}$

Cada rama es derivable en su intervalo abierto: para $x<1$, el argumento del logaritmo, $\frac{x^2+2}{3}$, es siempre positivo, y para $x>1$ se trata de un polinomio. El único punto que hay que estudiar es el de empalme, $x=1$, y allí hacen falta dos cosas: que la función sea continua y que las derivadas laterales coincidan.

Continuidad:

${\displaystyle \underset{x\to 1^{-}}{\lim }({\displaystyle \frac{1}{3}}+\ln {\displaystyle \frac{x^2+2}{3}})={\displaystyle \frac{1}{3}}+\ln 1={\displaystyle \frac{1}{3}}}$

${\displaystyle \underset{x\to 1^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{x^2}{3}}={\displaystyle \frac{1}{3}}=f(1)}$

Derivadas laterales:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2x}{x^2+2}}(x<1)f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2x}{3}}(x>1)$

—en la primera se ha usado que $\ln \frac{x^2+2}{3}=\ln (x^2+2)-\ln 3$—.

$f^{\mathrm{\prime }}(1^{-})={\displaystyle \frac{2}{1+2}}={\displaystyle \frac{2}{3}}{f}^{\mathrm{\prime }}(1^{+})={\displaystyle \frac{2}{3}}$

Coinciden, luego $f$ es derivable en $x=1$ y, por tanto, en todo $\mathbb{R}$, con

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{2x}{x^2+2}}& x<1\\ {\displaystyle \frac{2x}{3}}& x\ge 1\end{array}$



El resultado que se aplica es el teorema de los valores intermedios, esta vez sobre la función derivada: si $f^{\mathrm{\prime }}$ es continua en $[a,b]$, toma todos los valores comprendidos entre $f^{\mathrm{\prime }}(a)$ y $f^{\mathrm{\prime }}(b)$.

La derivada es continua en $[0,2]$: cada rama lo es y en el empalme los dos límites laterales valen $\frac{2}{3}$, como acabamos de ver. Calculamos sus valores en los extremos:

$f^{\mathrm{\prime }}(0)={\displaystyle \frac{0}{0+2}}=0f^{\mathrm{\prime }}(2)={\displaystyle \frac{4}{3}}$

Como

$f^{\mathrm{\prime }}(0)=0<1<{\displaystyle \frac{4}{3}}=f^{\mathrm{\prime }}(2)$

el teorema garantiza que existe $\alpha \in (0,2)$ con $f^{\mathrm{\prime }}(\alpha )=1$. De hecho puede identificarse: en la rama de la derecha, $\frac{2x}{3}=1\Rightarrow x=\frac{3}{2}$, que pertenece a $(1,2)\subset (0,2)$.