Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2026

a) Sea $f(x)=\frac{1}{3}{x}^3-2x^2+3x+1$. Determine todas las ecuaciones de las rectas tangentes horizontales a la gráfica de la función $f$. [1 punto]

b) Dados $a,b\in \mathbb{R}$, estudie la continuidad en todos los puntos de $\mathbb{R}$ de la siguiente función, según los valores de $a$ y $b$: [1 punto]

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{ax+b},& \text{si }x<1,\\ e,& \text{si }x=1,\\ e-ax+1,& \text{si }x>1.\end{array}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{todas}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{rectas}}\mathbf{\text{tangentes}}\mathbf{\text{horizontales}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathit{f}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Una recta tangente es horizontal cuando su pendiente es nula, y la pendiente de la tangente es el valor de la derivada, de modo que hay que buscar los puntos en que esta se anula.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=1\\ x=3\end{array}$

Se calcula la ordenada de cada uno de esos puntos:

$f(1)={\displaystyle \frac{1}{3}}-2+3+1={\displaystyle \frac{7}{3}}$

$f(3)={\displaystyle \frac{27}{3}}-18+9+1=9-18+9+1=1$

La recta tangente en un punto de tangente horizontal es la recta $y=f(x_0)$.



Las rectas tangentes horizontales son $y={\displaystyle \frac{7}{3}}$, en el máximo relativo $x=1$, e $y=1$, en el mínimo relativo $x=3$.



En $x<1$ la función es una exponencial de exponente lineal y en $x>1$ es una recta: las dos son continuas en sus intervalos sean cuales sean los parámetros. El único punto que hay que estudiar es $x=1$, donde cambia la definición.

Se calculan los dos límites laterales y el valor de la función:

${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=e^{a+b};f(1)=e;{\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=e-a+1$

Para que haya continuidad los tres tienen que coincidir. Del límite por la derecha:

$e-a+1=e\Rightarrow -a+1=0\Rightarrow a=1$

Y del límite por la izquierda, con ese valor:

$e^{a+b}=e\Rightarrow a+b=1\Rightarrow b=1-a=0$

Se concluye entonces:

Si $a=1$ y $b=0$, la función es continua en todo $\mathbb{R}$.

Para cualquier otro par de valores, la función es continua en $\mathbb{R}-\{1\}$ y presenta en $x=1$ una discontinuidad de salto finito, porque los dos límites laterales existen y son finitos pero no coinciden entre sí o con $f(1)=e$.