Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2024

Dada la función $f(x)=(1-x^2)\tan (x)$, demuestre que tiene un máximo relativo en el intervalo $(0,\frac{\pi }{2})$. [2 puntos]

No se pide localizar el máximo —la ecuación $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ no se resuelve con funciones elementales—, sino demostrar que existe. El argumento es el teorema de Weierstrass aplicado a un intervalo cerrado bien elegido dentro de $(0,\frac{\pi }{2})$.

i) Se elige el intervalo $[0,1]$, que está contenido en $[0,\frac{\pi }{2})$ porque $1<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\approx \mathrm{1,5708}$. En él la función es continua: el factor $1-x^2$ es un polinomio y $\tan x$ es continua en todo punto donde el coseno no se anula, lo que en $[0,1]$ no ocurre.

ii) Se evalúa la función en los extremos y se estudia su signo dentro:

$f(0)=(1-0)\tan 0=0$

$f(1)=(1-1^2)\tan 1=0\cdot \tan 1=0$

Para $0<x<1$ se cumple $1-x^2>0$, y también $\tan x>0$ por estar $x$ en el primer cuadrante. El producto de dos números positivos es positivo:

$f(x)>0\text{para todo }x\in (0,1)$

iii) Por el teorema de Weierstrass, una función continua en un intervalo cerrado y acotado alcanza en él su máximo absoluto. Ese máximo no puede alcanzarse en $x=0$ ni en $x=1$, porque allí la función vale 0 y en el interior toma valores positivos. Por lo tanto se alcanza en un punto $c\in (0,1)$.

iv) En $c$ la función es derivable y tiene un máximo, luego $f^{\mathrm{\prime }}(c)=0$ y ese máximo absoluto de $[0,1]$ es, en particular, un máximo relativo de $f$. Como $(0,1)\subset (0,\frac{\pi }{2})$, queda demostrado lo pedido.



La función tiene, pues, un máximo relativo en el intervalo $(0,\frac{\pi }{2})$. Resolviendo numéricamente $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-2x\tan x+{\displaystyle \frac{1-x^2}{{\cos }^{2}x}}=0$ se obtiene $c\approx \mathrm{0,6313}$, con $f(c)\approx \mathrm{0,4397}$, pero el enunciado no pide ese valor.