Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2020

Determine los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para que las funciones $f(x)=a{x}^2+b$ y $g(x)=x^2+x+a$ sean tangentes en el punto de abscisa $x=-1$. Para los valores obtenidos de $a$ y $b$, calcule la recta tangente a las curvas en $x=-1$. [2 puntos]

Que dos curvas sean tangentes en un punto significa dos cosas: que se cortan en él y que en él tienen la misma pendiente. Cada una da una ecuación.

$f(-1)=a+b,g(-1)=1-1+a=a$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2ax\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(-1)=-2a$

$g^{\mathrm{\prime }}(x)=2x+1\Rightarrow g^{\mathrm{\prime }}(-1)=-1$

De la igualdad de las derivadas sale directamente el primer parámetro:

$-2a=-1\Rightarrow a={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Y de la igualdad de los valores:

$a+b=a\Rightarrow b=0$

Con esos valores las dos funciones son

$f(x)={\displaystyle \frac{x^2}{2}},g(x)=x^2+x+{\displaystyle \frac{1}{2}}$

y en $x=-1$ las dos valen ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ y tienen pendiente $-1$, como se comprueba sustituyendo.

La recta tangente común pasa por $(-1,{\displaystyle \frac{1}{2}})$ con pendiente $-1$:

$y-{\displaystyle \frac{1}{2}}=-1\cdot (x+1)$

$y=-x-1+{\displaystyle \frac{1}{2}}=-x-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

La recta tangente a las dos curvas en $x=-1$ es $y=-x-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.