Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2025

De dos funciones continuas se sabe que $f(1)=1$, $f^{\mathrm{\prime }}(1)=2$, $g(1)=-1$ y $g^{\mathrm{\prime }}(1)=2$. Se construye la función $h(x)={\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}$. Se pide:

a) Calcule $h(1)$ y $h^{\mathrm{\prime }}(1)$. [1,25 puntos]

b) Sabiendo que $f$ tiene un máximo en $x=3$ y que $k(x)=(x-2{)}^{2}f(x)$ tiene un mínimo en ese mismo punto, calcule $f(3)$. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{h(1)}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{h’(1).}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La función es el cociente $h={\displaystyle \frac{f}{g}}$, y en $x=1$ el denominador no se anula ($g(1)=-1\mathrm{\ne }0$), así que $h$ está definida y es derivable ahí.

$h(1)=\frac{f(1)}{g(1)}=\frac{1}{-1}=-1$

Para la derivada se aplica la regla del cociente:

$h^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{f^{\mathrm{\prime }}(x)g(x)-f(x)g^{\mathrm{\prime }}(x)}{[g(x){]}^2}$

$h^{\mathrm{\prime }}(1)=\frac{f^{\mathrm{\prime }}(1)g(1)-f(1)g^{\mathrm{\prime }}(1)}{[g(1){]}^2}=\frac{2\cdot (-1)-1\cdot 2}{(-1{)}^2}$

$h^{\mathrm{\prime }}(1)=\frac{-2-2}{1}=-4$

De modo que $h(1)=-1$ y $h^{\mathrm{\prime }}(1)=-4$: en ese punto la función decrece con pendiente $-4$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{f}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{x}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{3}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{k(x)}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{(x}}\mathbf{\text{-}}\mathbf{\text{2)²}}\mathbf{\text{f(x)}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{mismo}}\mathbf{\text{punto,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{f(3).}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Que $f$ tenga un máximo en $x=3$ —y sea derivable, como dice el enunciado— obliga a que su derivada se anule ahí:

$f^{\mathrm{\prime }}(3)=0$

Y que $k$ tenga un mínimo en el mismo punto obliga igualmente a $k^{\mathrm{\prime }}(3)=0$. Se deriva $k$ con la regla del producto:

$k^{\mathrm{\prime }}(x)=2(x-2)f(x)+(x-2{)}^2{f}^{\mathrm{\prime }}(x)$

$k^{\mathrm{\prime }}(3)=2(3-2)f(3)+(3-2{)}^2{f}^{\mathrm{\prime }}(3)=2f(3)+f^{\mathrm{\prime }}(3)$

Como $f^{\mathrm{\prime }}(3)=0$, queda

$k^{\mathrm{\prime }}(3)=2f(3)=0\Rightarrow f(3)=0$

El valor buscado es $f(3)=0$. Merece la pena notar la coherencia de las dos condiciones: si $f$ alcanza su máximo valiendo cero, entonces $f\le 0$ cerca de $x=3$, y como $(x-2{)}^2\ge 0$, el producto $k$ es también menor o igual que cero en un entorno, con $k(3)=0$. Es decir, $k$ alcanza en $x=3$ un máximo... salvo que sea idénticamente nula. El enunciado dice mínimo, lo que solo es compatible si $f$ se anula también a un lado; en cualquier caso, la condición $k^{\mathrm{\prime }}(3)=0$ fuerza $f(3)=0$, que es lo que se pedía.