Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2025

La concentración de virus activos en una muestra de sangre (en un tiempo $t$ desde que se tomó la muestra) se puede modelizar como una función $f(t)=5(t+1)e^{-t}$, con $t\ge 0$.

a) [1,25 puntos] La pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f(t)$ mide cómo cambia la concentración de virus activos. Calcule el tiempo en el que este cambio toma el valor más pequeño posible, es decir, el tiempo $t$ en el que el valor de la derivada de $f(t)$ es mínimo.

b) [1,25 puntos] ¿Cuál sería el valor de la concentración de virus a largo plazo? Es decir, el valor cuando el tiempo tiende a infinito: ${\lim }_{t\to +\mathrm{\infty }}f(t)$.

La pendiente de la recta tangente en cada instante es $f^{\mathrm{\prime }}(t)$, de modo que lo que se pide es el mínimo de la función derivada. Derivamos $f$ aplicando la regla del producto.

$f^{\mathrm{\prime }}(t)=5e^{-t}+5(t+1)(-e^{-t})=5e^{-t}[1-(t+1)]=-5t{e}^{-t}$

Para localizar el mínimo de $f^{\mathrm{\prime }}$ derivamos otra vez y buscamos los puntos críticos.

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)=-5e^{-t}+5t{e}^{-t}=5e^{-t}(t-1)$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)=0\Rightarrow 5e^{-t}(t-1)=0\Rightarrow t-1=0\Rightarrow t=1$

La exponencial nunca se anula, así que $t=1$ es el único punto crítico. El signo de $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ lo marca el factor $t-1$: es negativo en $(0,1)$ y positivo en $(1,+\mathrm{\infty })$.



La derivada $f^{\mathrm{\prime }}$ decrece antes de $t=1$ y crece después, luego en $t=1$ alcanza un mínimo, cuyo valor es

$f^{\mathrm{\prime }}(1)=-5\cdot 1\cdot e^{-1}=-{\displaystyle \frac{5}{e}}\approx -\mathrm{1,8394}$

El cambio de la concentración es el más pequeño posible al cabo de $t=1$ unidad de tiempo: ahí la concentración de virus activos disminuye a razón de $5\mathrm{/}e\approx \mathrm{1,8394}$ unidades por unidad de tiempo, que es su caída más rápida.



Al sustituir aparece la indeterminación $\mathrm{\infty }\cdot 0$, que deshacemos escribiendo la exponencial en el denominador para poder aplicar la regla de L'Hôpital.



A largo plazo la concentración de virus activos tiende a $0$: la muestra acaba sin virus activos.