Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2025

a) Dada la función $f(x)={\displaystyle \frac{a{x}^2+b}{x^3}}$, calcule los valores de $a$ y $b$ sabiendo que $f(x)$ tiene un máximo relativo en el punto $P(1,2)$. [1,25 puntos]

b) Estudie los extremos relativos, el crecimiento y decrecimiento y las asíntotas de la función anterior para el caso particular $a=2$, $b=-2$. [1,25 puntos]

Que haya un extremo en $x=1$ obliga a que la derivada se anule allí, y que la gráfica pase por $P$ da la segunda ecuación. Conviene escribir la función como suma de potencias antes de derivar.

$f(x)={\displaystyle \frac{a{x}^2+b}{x^3}}={\displaystyle \frac{a}{x}}+{\displaystyle \frac{b}{x^3}}=a{x}^{-1}+b{x}^{-3}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-a{x}^{-2}-3b{x}^{-4}=-{\displaystyle \frac{a}{x^2}}-{\displaystyle \frac{3b}{x^4}}$

$\{\begin{array}{l}f(1)=a+b=2\\ f^{\mathrm{\prime }}(1)=-a-3b=0\end{array}$

De la segunda ecuación $a=-3b$, y sustituyendo en la primera:

$-3b+b=2\Rightarrow -2b=2\Rightarrow b=-1\Rightarrow a=3$

Comprobamos que en $x=1$ hay realmente un máximo. Con esos valores $f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{3(1-x^2)}{x^4}}$, que es positiva a la izquierda de 1 y negativa a la derecha: la función pasa de crecer a decrecer.

Los valores pedidos son $a=3$ y $b=-1$.



Con esos valores la función es $f(x)={\displaystyle \frac{2x^2-2}{x^3}}={\displaystyle \frac{2}{x}}-{\displaystyle \frac{2}{x^3}}$, de dominio $\mathbb{R}-\{0\}$.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{2}{x^2}}+{\displaystyle \frac{6}{x^4}}={\displaystyle \frac{-2x^2+6}{x^4}}={\displaystyle \frac{2(3-x^2)}{x^4}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x^2=3\Rightarrow x=\pm \sqrt{3}$

El denominador es siempre positivo, así que el signo lo decide $3-x^2$. Añadimos $x=0$, que no pertenece al dominio.

$f^{\mathrm{\prime }}(-2)={\displaystyle \frac{2(3-4)}{16}}<0f^{\mathrm{\prime }}(-1)={\displaystyle \frac{2\cdot 2}{1}}>0f^{\mathrm{\prime }}(1)=4>0f^{\mathrm{\prime }}(2)={\displaystyle \frac{-2}{16}}<0$



La función crece en $(-\sqrt{3},0)\cup (0,\sqrt{3})$ y decrece en $(-\mathrm{\infty },-\sqrt{3})\cup (\sqrt{3},+\mathrm{\infty })$.

Hay un mínimo relativo en $x=-\sqrt{3}$ y un máximo relativo en $x=\sqrt{3}$.

$f(\pm \sqrt{3})=\pm ({\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}-{\displaystyle \frac{2}{3\sqrt{3}}})=\pm {\displaystyle \frac{4}{3\sqrt{3}}}=\pm {\displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{9}}\approx \pm \mathrm{0,77}$

Asíntotas verticales: el único valor que anula el denominador es $x=0$, y el numerador no se anula ahí.

${\lim }_{x\to 0^{-}}{\displaystyle \frac{2x^2-2}{x^3}}={\displaystyle \frac{-2}{0^{-}}}=+\mathrm{\infty }{\lim }_{x\to 0^{+}}{\displaystyle \frac{2x^2-2}{x^3}}={\displaystyle \frac{-2}{0^{+}}}=-\mathrm{\infty }$

La recta $x=0$ es asíntota vertical.

Asíntotas horizontales: el grado del denominador supera al del numerador.

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{2x^2-2}{x^3}}=0$

La recta $y=0$ es asíntota horizontal, y al haberla no hay oblicua.