Examen de Matemáticas II de Castilla-La Mancha 2025 (convocatoria ordinaria)

La concentración de virus activos en una muestra de sangre (en un tiempo $t$ desde que se tomó la muestra) se puede modelizar como una función $f(t)=5(t+1)e^{-t}$, con $t\ge 0$.

a) [1,25 puntos] La pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f(t)$ mide cómo cambia la concentración de virus activos. Calcule el tiempo en el que este cambio toma el valor más pequeño posible, es decir, el tiempo $t$ en el que el valor de la derivada de $f(t)$ es mínimo.

b) [1,25 puntos] ¿Cuál sería el valor de la concentración de virus a largo plazo? Es decir, el valor cuando el tiempo tiende a infinito: ${\lim }_{t\to +\mathrm{\infty }}f(t)$.

Sean las rectas $r_1\equiv {\displaystyle \frac{x+2}{1}}={\displaystyle \frac{y-1}{-1}}={\displaystyle \frac{z+1}{1}}$ y $r_2\equiv {\displaystyle \frac{x-1}{2}}={\displaystyle \frac{y-1}{1}}={\displaystyle \frac{z-1}{-1}}$.

a) [1,25 puntos] Determine la ecuación de la recta $r_3$, cuyo vector director es perpendicular a los vectores directores de las rectas $r_1$ y $r_2$ y que pasa por el punto $A(0,0,0)$.

b) [1,25 puntos] Calcule la distancia de la recta $r_2$ al punto $B(-1,-1,2)$.

Sea la recta $r\equiv {\displaystyle \frac{x}{1}}={\displaystyle \frac{y}{-1}}={\displaystyle \frac{z}{2}}$ y el plano $\pi \equiv x-y+3z=0$.

a) [1,25 puntos] Determine la ecuación del plano que contiene a la recta $r$ y es perpendicular al plano $\pi$.

b) [1,25 puntos] Calcule el ángulo entre la recta $r$ y el plano $\pi$ teniendo en cuenta que se cortan en el punto $A(0,0,0)$.

Considere el siguiente sistema de ecuaciones, donde $a\in \mathbb{R}$:

$\{\begin{array}{l}x+y+a\cdot z=1\\ x-2z=a\\ 2x+y+z=3\end{array}$

a) [1,5 puntos] Discuta el sistema de ecuaciones según los valores de $a$, e identifique el número de soluciones en cada caso.

b) [1 punto] Resuelva, razonadamente, el sistema de ecuaciones para $a=0$.

Sea el sistema de ecuaciones $A\cdot X-B=X$, con $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& m\end{array}\right)$, tal que $m\in \mathbb{R}$, y $B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$. Además, la matriz $X$ es de dimensión $2\times 2$.

a) [1,5 puntos] ¿Para qué valores del parámetro $m$ el sistema anterior tiene solución única?

b) [1 punto] Para $m=1$, resuelva el sistema y obtenga el valor de $X$.

Una baraja española está compuesta de 40 cartas, entre las que hay 4 ases. En un juego de azar dos jugadores compiten entre sí. El primer jugador baraja las cartas y las va sacando una a una hasta que encuentra un as. A continuación, el otro jugador vuelve a juntar todas las cartas y repite estos pasos (es decir, vuelve a barajar y va sacando cartas hasta encontrar un as). Gana el jugador que más cartas haya sacado (contando el as). Si ambos sacan el mismo número de cartas, entonces se produce un empate.

a) [1,5 puntos] Calcule las probabilidades de que el as salga al sacar 1, 2 y 3 cartas, respectivamente.

b) [1 punto] Si el primer jugador ha sacado dos cartas (contando el as), ¿cuál es la probabilidad de que el segundo jugador le gane?

Una empresa produce aparatos para medir distancias. Durante el proceso de calibración realiza una serie de experimentos para medir la distancia entre dos puntos, que están separados 1,5 metros entre sí. Debido al error de los aparatos, se sabe que los valores medidos siguen una distribución normal de media 1,5 m y varianza $\mathrm{0,64}{\text{m}}^2$.

a) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que la medición del aparato sea de más de 2,1 m?

b) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que la medición del aparato sea superior a 0,9 m?

c) [1 punto] ¿Cuál es el valor de la distancia tal que el 80,51 % de las mediciones estarían por encima de él?