Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Considere el siguiente sistema de ecuaciones, donde $a\in \mathbb{R}$:

$\{\begin{array}{l}x+y+a\cdot z=1\\ x-2z=a\\ 2x+y+z=3\end{array}$

a) [1,5 puntos] Discuta el sistema de ecuaciones según los valores de $a$, e identifique el número de soluciones en cada caso.

b) [1 punto] Resuelva, razonadamente, el sistema de ecuaciones para $a=0$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Discuta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{seg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{e}}\mathbf{\text{identifique}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{soluciones}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{caso.}}$

Escribimos la matriz de coeficientes y la ampliada, cuidando de dejar un hueco donde falta una incógnita.

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& a\\ 1& 0& -2\\ 2& 1& 1\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& a& 1\\ 1& 0& -2& a\\ 2& 1& 1& 3\end{array}\right)$

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius, y para ello empezamos por el determinante de $A$, desarrollándolo por la primera fila.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=1\mid \begin{array}{cc}0& -2\\ 1& 1\end{array}\mid -1\mid \begin{array}{cc}1& -2\\ 2& 1\end{array}\mid +a\mid \begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\mid =2-5+a=a-3$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow a-3=0\Rightarrow a=3$

• Si $a\mathrm{\ne }3$, entonces $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y

$\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=3=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

El sistema es compatible determinado: tiene una única solución.

• Si $a=3$, el determinante se anula, pero el menor

$\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\mid =-1\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2$

Orlamos ese menor en la ampliada con la columna de los términos independientes:

$\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 0& 3\\ 2& 1& 3\end{array}\mid =0+6+1-0-3-3=1\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A^{\ast })=3$

$\mathrm{ran}(A)=2\mathrm{\ne }3=\mathrm{ran}(A^{\ast })$

El sistema es incompatible: no tiene ninguna solución.

En resumen, para $a\mathrm{\ne }3$ el sistema es compatible determinado con solución única, y para $a=3$ es incompatible y no tiene solución.



Para $a=0$ estamos en el caso compatible determinado, y el sistema queda

$\{\begin{array}{l}x+y=1\\ x-2z=0\\ 2x+y+z=3\end{array}$

De la segunda ecuación despejamos $x=2z$ y lo llevamos a la primera.

$2z+y=1\Rightarrow y=1-2z$

Sustituimos las dos en la tercera ecuación, que queda con una sola incógnita.

$2(2z)+(1-2z)+z=3\Rightarrow 4z+1-2z+z=3\Rightarrow 3z=2\Rightarrow z={\displaystyle \frac{2}{3}}$

Deshacemos las sustituciones.

$x=2\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{4}{3}},y=1-2\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$

La solución única del sistema para $a=0$ es $x={\displaystyle \frac{4}{3}}$, $y=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$, $z={\displaystyle \frac{2}{3}}$.