Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

Sean las rectas $r_1\equiv {\displaystyle \frac{x+2}{1}}={\displaystyle \frac{y-1}{-1}}={\displaystyle \frac{z+1}{1}}$ y $r_2\equiv {\displaystyle \frac{x-1}{2}}={\displaystyle \frac{y-1}{1}}={\displaystyle \frac{z-1}{-1}}$.

a) [1,25 puntos] Determine la ecuación de la recta $r_3$, cuyo vector director es perpendicular a los vectores directores de las rectas $r_1$ y $r_2$ y que pasa por el punto $A(0,0,0)$.

b) [1,25 puntos] Calcule la distancia de la recta $r_2$ al punto $B(-1,-1,2)$.

Las dos rectas vienen dadas en forma continua, así que sus vectores directores se leen en los denominadores.

${\vec{v}}_1=(1,-1,1),{\vec{v}}_2=(2,1,-1)$

Un vector perpendicular a los dos a la vez es su producto vectorial.

${\vec{v}}_3={\vec{v}}_1\times {\vec{v}}_2=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& -1& 1\\ 2& 1& -1\end{array}\mid$

${\vec{v}}_3=((-1)(-1)-1\cdot 1)\vec{i}-(1\cdot (-1)-1\cdot 2)\vec{j}+(1\cdot 1-(-1)\cdot 2)\vec{k}=(0,3,3)$

Como solo importa la dirección, tomamos el vector proporcional $(0,1,1)$. La recta $r_3$ pasa por el origen con esa dirección:

$r_3\equiv \{\begin{array}{l}x=0\\ y=\lambda \\ z=\lambda \end{array},\lambda \in \mathbb{R}$

En forma implícita, eliminando el parámetro,

$r_3\equiv \{\begin{array}{l}x=0\\ y-z=0\end{array}$

La recta pedida es la que pasa por el origen con vector director $(0,1,1)$, es decir, la intersección de los planos $x=0$ e $y=z$.



De la forma continua de $r_2$ leemos un punto de paso y su vector director.

$P(1,1,1)\in r_2,{\vec{v}}_2=(2,1,-1)$

La distancia de un punto a una recta es la altura del paralelogramo que determinan $\overrightarrow{PB}$ y ${\vec{v}}_2$, es decir, el cociente entre el módulo de su producto vectorial y el módulo del director.



$\overrightarrow{PB}=(-1,-1,2)-(1,1,1)=(-2,-2,1)$

$\overrightarrow{PB}\times {\vec{v}}_2=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -2& -2& 1\\ 2& 1& -1\end{array}\mid =(1,0,2)$

$\mid \overrightarrow{PB}\times {\vec{v}}_2\mid =\sqrt{1^2+0^2+2^2}=\sqrt{5}$

$\mathrm{\mid }{\vec{v}}_2\mathrm{\mid }=\sqrt{2^2+1^2+(-1{)}^2}=\sqrt{6}$

$d(B,r_2)={\displaystyle \frac{\mid \overrightarrow{PB}\times {\vec{v}}_2\mid }{\mathrm{\mid }{\vec{v}}_2\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{30}}{6}}\approx \mathrm{0,9129}$

La distancia del punto $B$ a la recta $r_2$ es ${\displaystyle \frac{\sqrt{30}}{6}}\approx \mathrm{0,9129}$ unidades.