Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

$\mathbf{\text{Opci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{B}}$

Considere el plano $\pi :2x-y+z=5$ y el punto $P=(0,1,3)$.

a) Compruebe que la distancia del punto $P$ al plano $\pi$ es ${\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}$. [0,5 puntos]
b) Encuentre la ecuación general de un plano ${\pi }_1$ paralelo a $\pi$ y que pase por el punto $P$. ¿Cuál es la distancia entre ${\pi }_1$ y $\pi$? [0,75 puntos]
c) Encuentre la ecuación general de un segundo plano ${\pi }_2$, diferente de ${\pi }_1$, que sea paralelo a $\pi$ y que esté a una distancia ${\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}$ de $\pi$. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Compruebe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{punto}}\mathit{P}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{es}}\mathrm{<mstyle\; scriptlevel="0"\; displaystyle="true"><mfrac><msqrt><mn\; mathvariant="bold">6</mn></msqrt><mn\; mathvariant="bold">2</mn></mfrac></mstyle>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Escribimos el plano en la forma general $2x-y+z-5=0$ y aplicamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano.

$d(P,\pi )={\displaystyle \frac{\mid 2x_0-y_0+z_0-5\mid }{\sqrt{2^2+(-1{)}^2+1^2}}}$

$d(P,\pi )={\displaystyle \frac{\mid 2\cdot 0-1+3-5\mid }{\sqrt{6}}}={\displaystyle \frac{\mid -3\mid }{\sqrt{6}}}={\displaystyle \frac{3}{\sqrt{6}}}$

Racionalizando:

${\displaystyle \frac{3}{\sqrt{6}}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{6}}{6}}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}$

Queda comprobado que $d(P,\pi )={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}\approx \mathrm{1,22}$.



Dos planos paralelos comparten vector normal, así que ${\pi }_1$ tiene la forma $2x-y+z=D$; el valor de $D$ sale de imponer que pase por $P$.

$D=2\cdot 0-1+3=2$

${\pi }_1:2x-y+z-2=0$

La distancia entre dos planos paralelos es la de cualquier punto de uno de ellos al otro; como $P$ está en ${\pi }_1$, esa distancia es la que ya calculamos.

$d({\pi }_1,\pi )=d(P,\pi )={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}$

El plano pedido es $2x-y+z-2=0$ y dista de $\pi$ exactamente ${\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}$ unidades.



Todo plano paralelo a $\pi$ se escribe $2x-y+z=D$. Imponemos la distancia tomando un punto cualquiera de ${\pi }_2$, o directamente con la fórmula de la distancia entre planos paralelos:

$d={\displaystyle \frac{\mid 5-D\mid }{\sqrt{6}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}$

$\mid 5-D\mid ={\displaystyle \frac{\sqrt{6}\cdot \sqrt{6}}{2}}=3$

El valor absoluto da dos soluciones, una a cada lado de $\pi$:

$5-D=3\Rightarrow D=25-D=-3\Rightarrow D=8$

La primera es el plano ${\pi }_1$ del apartado anterior, así que la que sirve es la segunda.

${\pi }_2:2x-y+z-8=0$



El plano pedido es $2x-y+z-8=0$: junto con ${\pi }_1$ son los dos únicos planos paralelos a $\pi$ que están a distancia ${\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}$ de él, uno a cada lado.