Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2026

a) Sean los puntos $A(1,3,-2)$ y $B(3,-1,2)$, calcule la ecuación del plano perpendicular al vector $\overrightarrow{AB}$ y que pasa por el punto que divide el segmento $AB$ en dos partes iguales. [1 punto]

b) Calcule la distancia del punto $A$ al plano $\pi :2x-y+2z-4=0$. [0,75 puntos]

c) Obtenga la ecuación del plano paralelo al plano $\pi$ y que pase por el punto $B$. [0,75 puntos]

El plano pedido es el plano mediador del segmento: pasa por su punto medio y tiene por vector normal el propio $\overrightarrow{AB}$.

$\overrightarrow{AB}=B-A=(3-1,-1-3,2-(-2))=(2,-4,4)$

$M={\displaystyle \frac{A+B}{2}}=({\displaystyle \frac{1+3}{2}},{\displaystyle \frac{3-1}{2}},{\displaystyle \frac{-2+2}{2}})=(2,1,0)$

Con la normal y un punto, la ecuación del plano es inmediata.

$2(x-2)-4(y-1)+4(z-0)=0$

$2x-4y+4z-4+4=0\Rightarrow 2x-4y+4z=0\Rightarrow x-2y+2z=0$

El plano pedido es $x-2y+2z=0$; se comprueba que $M(2,1,0)$ lo verifica: $2-2+0=0$.



Aplicamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano, que mide la longitud del segmento perpendicular.

$d(A,\pi )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }2x_0-y_0+2z_0-4\mathrm{\mid }}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2+2^2}}}$

$d(A,\pi )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }2\cdot 1-3+2\cdot (-2)-4\mathrm{\mid }}{\sqrt{9}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }-9\mathrm{\mid }}{3}}=3$

La distancia del punto $A$ al plano $\pi$ es de 3 unidades.



$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Obtenga}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{paralelo}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pase}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathit{B}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Dos planos son paralelos cuando comparten vector normal, así que el plano buscado tiene la misma parte lineal y solo cambia el término independiente.

${\pi }^{\mathrm{\prime }}:2x-y+2z+D=0$

Imponemos que pase por $B(3,-1,2)$:

$2\cdot 3-(-1)+2\cdot 2+D=0\Rightarrow 6+1+4+D=0\Rightarrow D=-11$

El plano pedido es $2x-y+2z-11=0$.