Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2026

Dados los puntos $A(4,3,3)$, $B(3,3,4)$, $C(1,0,4)$ y $D(4,0,1)$,

a) Justifique de forma razonada que los puntos $A$, $B$, $C$ y $D$ están en el mismo plano y halle la ecuación del plano que determinan. [1 punto]

b) Calcule el valor de $k$ para que el punto $P(7,k,2)$ esté en la recta $r$ que pasa por los puntos $A$ y $C$. [0,75 puntos]

c) Calcule la distancia del punto $B$ a la recta que pasa por $A$ y $C$. [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Justifique}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{forma}}\mathbf{\text{razonada}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathit{A}\mathbf{\text{,}}\mathit{B}\mathbf{\text{,}}\mathit{C}\mathbf{\text{y}}\mathit{D}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{mismo}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{halle}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{determinan.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Cuatro puntos son coplanarios cuando los tres vectores que salen de uno de ellos hacia los otros tres son linealmente dependientes, es decir, cuando su producto mixto es nulo.

$\overrightarrow{AB}=(-1,0,1)\overrightarrow{AC}=(-3,-3,1)\overrightarrow{AD}=(0,-3,-2)$

$\mid \begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ -3& -3& 1\\ 0& -3& -2\end{array}\mid =-1(6+3)-0+1(9-0)=-9+9=0$

El producto mixto es cero, luego los cuatro puntos son coplanarios. El plano que determinan tiene por vector normal el producto vectorial de dos de esos vectores.

$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -1& 0& 1\\ -3& -3& 1\end{array}\mid =(0+3)\vec{i}-(-1+3)\vec{j}+(3-0)\vec{k}=(3,-2,3)$

$3(x-4)-2(y-3)+3(z-3)=0\Rightarrow 3x-2y+3z-15=0$

Se comprueba con los otros tres puntos: $B$ da $9-6+12-15=0$, $C$ da $3-0+12-15=0$ y $D$ da $12-0+3-15=0$.



Escribimos la recta en forma paramétrica con el punto $A$ y el vector director $\overrightarrow{AC}=(-3,-3,1)$.

$r:\{\begin{array}{l}x=4-3t\\ y=3-3t\\ z=3+t\end{array}$

Imponemos que $P$ pertenezca a la recta usando las coordenadas conocidas.

$7=4-3t\Rightarrow t=-12=3+t\Rightarrow t=-1$

Las dos coordenadas dan el mismo parámetro, así que el punto está en la recta y basta sustituir en la segunda ecuación.

$k=3-3(-1)=6$

El valor pedido es $k=6$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{punto}}\mathit{B}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{por}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathit{C}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La distancia de un punto a una recta es el cociente entre el módulo del producto vectorial del vector director por el que va del punto de paso al punto exterior y el módulo del director.

$d(B,r)={\displaystyle \frac{\mid \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\mid }{\mid \overrightarrow{AC}\mid }}$

El producto vectorial ya está calculado en el primer apartado.

$\mid \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\mid =\mathrm{\mid }(3,-2,3)\mathrm{\mid }=\sqrt{9+4+9}=\sqrt{22}$

$\mid \overrightarrow{AC}\mid =\sqrt{9+9+1}=\sqrt{19}$

$d(B,r)={\displaystyle \frac{\sqrt{22}}{\sqrt{19}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{22}{19}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{418}}{19}}\approx \mathrm{1,08}$



La distancia del punto $B$ a la recta $AC$ es de ${\displaystyle \frac{\sqrt{418}}{19}}\approx \mathrm{1,08}$ unidades.