Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

Dada la recta $s\equiv {\displaystyle \frac{x}{-4}}={\displaystyle \frac{y-1}{3}}={\displaystyle \frac{z+1}{0}}$, el plano $\pi \equiv x-2y+3z-6=0$ y el punto $P(1,-1,0)$

a) Obtenga la ecuación del plano perpendicular a la recta $s$ que pase por $P$. [0,75 puntos]

b) Calcule la distancia del punto $P$ a la recta $s$. [1 punto]

c) Calcule el ángulo que forma la recta $s$ con el plano $\pi$. [0,75 puntos]

De la ecuación continua de la recta leemos su punto de paso y su vector director. La tercera coordenada del director es cero, lo que significa que la recta es horizontal.

$Q(0,1,-1){\vec{v}}_s=(-4,3,0){\vec{n}}_{\pi }=(1,-2,3)$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Obtenga}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{perpendicular}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{s}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pase}}\mathbf{\text{por}}\mathit{P}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Un plano perpendicular a una recta tiene por vector normal el director de esa recta.

$-4(x-1)+3(y+1)+0(z-0)=0$

$-4x+4+3y+3=0\Rightarrow -4x+3y+7=0\Rightarrow 4x-3y-7=0$

El plano pedido es $4x-3y-7=0$, que contiene a $P(1,-1,0)$: $4+3-7=0$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{punto}}\mathit{P}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{s}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La distancia de un punto a una recta es el cociente entre el módulo del producto vectorial del vector que va del punto de paso al punto exterior por el director, y el módulo del director.

$\overrightarrow{QP}=P-Q=(1,-2,1)$

$\overrightarrow{QP}\times {\vec{v}}_s=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& -2& 1\\ -4& 3& 0\end{array}\mid =(0-3)\vec{i}-(0+4)\vec{j}+(3-8)\vec{k}=(-3,-4,-5)$

$\mid \overrightarrow{QP}\times {\vec{v}}_s\mid =\sqrt{9+16+25}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\mid {\vec{v}}_s\mid =\sqrt{16+9+0}=5$

$d(P,s)={\displaystyle \frac{5\sqrt{2}}{5}}=\sqrt{2}\approx \mathrm{1,41}$

La distancia del punto $P$ a la recta $s$ es de $\sqrt{2}$ unidades.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{forma}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{s}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El ángulo que forman una recta y un plano es el complementario del que forman el vector director y el vector normal, y por eso en la fórmula aparece el seno y no el coseno.

$\mathrm{sen}\alpha ={\displaystyle \frac{\mid {\vec{v}}_s\cdot {\vec{n}}_{\pi }\mid }{\mid {\vec{v}}_s\mid \cdot \mid {\vec{n}}_{\pi }\mid }}$

${\vec{v}}_s\cdot {\vec{n}}_{\pi }=-4-6+0=-10\mid {\vec{n}}_{\pi }\mid =\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}$

$\mathrm{sen}\alpha ={\displaystyle \frac{10}{5\sqrt{14}}}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{14}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{14}}{7}}\approx \mathrm{0,5345}$

$\alpha =\mathrm{arcsen}\mathrm{0,5345}\approx {\mathrm{32,31}}^{\circ }$



La recta $s$ forma con el plano $\pi$ un ángulo de unos ${\mathrm{32,31}}^{\circ }$, es decir, ${32}^{\circ }{19}^{\mathrm{\prime }}$ aproximadamente.