Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2026

PREGUNTA 3: GEOMETRÍA (2.5 puntos)

Responda al apartado 3.1 o al apartado 3.2

3.2 Dado el plano $\pi :2x+3y-z=0$ y los puntos $A(0,0,0)$, $B(10,0,-20)$, $C(0,15,-30)$ y $D(1,2,-1)$, se pide:

3.2.1 Estudiar si el triángulo $ABC$ está contenido en el plano $\pi$. (0.5 puntos)
3.2.2 Calcular las coordenadas de la proyección del punto $D$ sobre el plano formado por los puntos $A,B$ y $C$. (1.25 puntos)
3.2.3 Calcular la distancia del punto $D$ al plano $\pi$. (0.75 puntos)

El triángulo está contenido en el plano si y solo si lo están sus tres vértices, así que basta sustituirlos en la ecuación $\pi :2x+3y-z=0$:

$A(0,0,0):2\cdot 0+3\cdot 0-0=0$

$B(10,0,-20):2\cdot 10+3\cdot 0-(-20)=40\mathrm{\ne }0$

$C(0,15,-30):2\cdot 0+3\cdot 15-(-30)=75\mathrm{\ne }0$

Solo el vértice $A$ pertenece a $\pi$. Por tanto, el triángulo $ABC$ no está contenido en el plano $\pi$.



Como acabamos de ver, el plano que determinan los tres puntos no es $\pi$, así que lo calculamos. Dos vectores directores son:

$\overrightarrow{AB}=(10,0,-20),\overrightarrow{AC}=(0,15,-30)$

Su producto vectorial da un vector normal:

$\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\mid \begin{array}{ccc}\widehat{i}& \widehat{j}& \widehat{k}\\ 10& 0& -20\\ 0& 15& -30\end{array}\mid =(300,300,150)$

Podemos tomar el proporcional $(2,2,1)$. Como el plano pasa por $A(0,0,0)$:

$\sigma :2x+2y+z=0$

La proyección de $D$ sobre $\sigma$ es el pie de la perpendicular trazada desde $D$. Escribimos esa recta, que pasa por $D$ y lleva la dirección de $\vec{n}$:

$\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=2+2t\\ z=-1+t\end{array},t\in \mathbb{R}$

y la sustituimos en la ecuación del plano:

$2(1+2t)+2(2+2t)+(-1+t)=0\Rightarrow 9t+5=0\Rightarrow t=-{\displaystyle \frac{5}{9}}$

Llevando ese valor a la recta:

$D^{\mathrm{\prime }}=(1-{\displaystyle \frac{10}{9}},2-{\displaystyle \frac{10}{9}},-1-{\displaystyle \frac{5}{9}})=(-{\displaystyle \frac{1}{9}},{\displaystyle \frac{8}{9}},-{\displaystyle \frac{14}{9}})$

Comprobamos que $D^{\mathrm{\prime }}$ está en el plano:

$2(-{\displaystyle \frac{1}{9}})+2\cdot {\displaystyle \frac{8}{9}}+(-{\displaystyle \frac{14}{9}})=0$

$\mathbf{\text{3.2.3}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{punto}}\mathit{D}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(0.75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Volvemos al plano $\pi :2x+3y-z=0$ del enunciado y aplicamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano:

$d(D,\pi )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D\mathrm{\mid }}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}}$

Sustituyendo el punto $D(1,2,-1)$:

$d(D,\pi )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }2\cdot 1+3\cdot 2-(-1)\mathrm{\mid }}{\sqrt{2^2+3^2+(-1{)}^2}}}={\displaystyle \frac{9}{\sqrt{14}}}={\displaystyle \frac{9\sqrt{14}}{14}}\approx \mathrm{2,4056}$