Examen de Matemáticas II de Cataluña 2025 (convocatoria extraordinaria)

Una familia quiere comprar un terreno para hacerse una casa rodeada de acantilados con vistas al mar. En aquella zona de la costa, los acantilados siguen las rectas $y=0$ e $y=3x$. Además, la familia quiere que el terreno sea triangular y que el tercer lado del triángulo pase por el punto $P=(1,1)$, tal como se puede ver en la figura.



a) Plantee la ecuación de la recta $r$ que define el tercer lado del triángulo en función de su pendiente $m$, y compruebe que el área del terreno viene dada por $A(m)={\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{m^2-2m+1}{m^2-3m}}$. [1 punto]
b) Calcule el valor de $m$ que hace que el área de este terreno (y, por tanto, su precio) sea mínima. ¿Cuál es el valor de esta área? [1,5 puntos]

Considere el sistema de ecuaciones lineales siguiente:

$\begin{array}{r}x+3y+z=5\\ mx+2z=0\\ my-z=m\end{array}\}$

a) Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro $m$. [1,25 puntos]
b) Resuelva el sistema para $m=1$. [0,5 puntos]
c) Resuelva el sistema cuando este tenga infinitas soluciones. [0,75 puntos]

La lesión por sesamoiditis (inflamación del hueso sesamoideo del pie) es relativamente habitual entre la población que practica deportes de impacto (atletismo, baloncesto, tenis…). En una población de deportistas, se ha hecho un estudio diferenciando entre los que practican deportes de impacto y los que practican deportes sin impacto brusco (como natación, pilates, senderismo…). Se ha podido determinar que el 45 % practican deportes de impacto. Entre estos, un 10 % sufren lesiones por sesamoiditis, mientras que entre los que no practican deportes de impacto solo un 3 % presentan esta lesión. Escogemos un deportista al azar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sufra sesamoiditis? [0,75 puntos]
b) Si el deportista escogido tiene una lesión por sesamoiditis, ¿cuál es la probabilidad de que practique deportes de impacto? [0,75 puntos]
c) Una empresa de calzado deportivo ha creado una zapatilla con amortiguación para minimizar las lesiones por sesamoiditis. Los beneficios generados por la venta de este producto, en miles de euros, siguen una función de la forma $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx$, donde $x$ son los años transcurridos desde que la zapatilla salió a la venta y $a$, $b$ y $c$ son constantes reales. Calcule los valores de $a$, $b$ y $c$ sabiendo que el primer año se obtuvo el máximo de beneficios, con un valor de 8 000 euros, y que el segundo año hubo un punto de inflexión en los beneficios. [1 punto]

$\mathbf{\text{Opci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{A}}$

Un vidriero está reparando una de las vidrieras de la Sagrada Familia cuya forma es la de la parte sombreada de la figura adjunta. Se ha dado cuenta de que Gaudí la diseñó de manera que uno de los lados sigue la función $y=3\mathrm{sen}(x\mathrm{/}4)$ y el otro sigue la función $y=3\cos (x\mathrm{/}4)$, donde $x$ e $y$ están expresadas en metros.



a) Razone a qué función corresponde cada gráfica y calcule las coordenadas de los puntos $B$ y $C$ señalados en la figura, teniendo en cuenta que $A$ es el origen de coordenadas. [1 punto]
b) Calcule el precio de la vidriera sabiendo que cuesta 750 €/m². [1,5 puntos]

$\mathbf{\text{Opci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{B}}$

Considere el plano $\pi :2x-y+z=5$ y el punto $P=(0,1,3)$.

a) Compruebe que la distancia del punto $P$ al plano $\pi$ es ${\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}$. [0,5 puntos]
b) Encuentre la ecuación general de un plano ${\pi }_1$ paralelo a $\pi$ y que pase por el punto $P$. ¿Cuál es la distancia entre ${\pi }_1$ y $\pi$? [0,75 puntos]
c) Encuentre la ecuación general de un segundo plano ${\pi }_2$, diferente de ${\pi }_1$, que sea paralelo a $\pi$ y que esté a una distancia ${\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}$ de $\pi$. [1,25 puntos]