Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2025

Una familia quiere comprar un terreno para hacerse una casa rodeada de acantilados con vistas al mar. En aquella zona de la costa, los acantilados siguen las rectas $y=0$ e $y=3x$. Además, la familia quiere que el terreno sea triangular y que el tercer lado del triángulo pase por el punto $P=(1,1)$, tal como se puede ver en la figura.



a) Plantee la ecuación de la recta $r$ que define el tercer lado del triángulo en función de su pendiente $m$, y compruebe que el área del terreno viene dada por $A(m)={\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{m^2-2m+1}{m^2-3m}}$. [1 punto]
b) Calcule el valor de $m$ que hace que el área de este terreno (y, por tanto, su precio) sea mínima. ¿Cuál es el valor de esta área? [1,5 puntos]

El tercer lado pasa por $P=(1,1)$ y tiene pendiente $m$, de manera que su ecuación punto-pendiente es

$r:y-1=m(x-1)\Rightarrow y=m(x-1)+1$

Los vértices del triángulo son los tres cortes de las rectas dos a dos. El primero es el corte de los dos acantilados:

$y=0,y=3x\Rightarrow O=(0,0)$

El segundo, el corte de $r$ con $y=0$:

$0=m(x-1)+1\Rightarrow x={\displaystyle \frac{m-1}{m}}\Rightarrow A=({\displaystyle \frac{m-1}{m}},0)$

Y el tercero, el corte de $r$ con $y=3x$:

$3x=m(x-1)+1\Rightarrow x(3-m)=1-m\Rightarrow x={\displaystyle \frac{1-m}{3-m}}$

$B=({\displaystyle \frac{1-m}{3-m}},{\displaystyle \frac{3(1-m)}{3-m}})$

Como uno de los vértices es el origen, el área del triángulo se calcula cómodamente con el determinante de los otros dos vectores de posición.

$\acute{\text{a}}\text{rea}={\displaystyle \frac{1}{2}}\mid \det (\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})\mid ={\displaystyle \frac{1}{2}}\mid x_A{y}_B-x_B{y}_A\mid$

$\acute{\text{a}}\text{rea}={\displaystyle \frac{1}{2}}\mid {\displaystyle \frac{m-1}{m}}\cdot {\displaystyle \frac{3(1-m)}{3-m}}\mid ={\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{(m-1{)}^2}{\mid m(3-m)\mid }}$

En la figura la recta $r$ baja de izquierda a derecha, así que su pendiente es negativa. Para $m<0$ se tiene $m(m-3)>0$, y el valor absoluto se puede quitar escribiendo el denominador en ese orden:

$A(m)={\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{(m-1{)}^2}{m(m-3)}}={\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{m^2-2m+1}{m^2-3m}}$

que es exactamente la expresión del enunciado.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathit{m}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hace}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{terreno}}\mathbf{\text{(y,}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{tanto,}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{precio)}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nima.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{esta}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea?}}\mathbf{\text{(1,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Buscamos el mínimo de $A(m)$ en el intervalo $(-\mathrm{\infty },0)$, que es donde el triángulo existe. Derivamos la función como cociente.

$A^{\mathrm{\prime }}(m)={\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{2(m-1)(m^2-3m)-(m-1{)}^2(2m-3)}{{(m^2-3m)}^2}}$

Sacamos factor común $(m-1)$ en el numerador y desarrollamos el corchete:

$2(m^2-3m)-(m-1)(2m-3)=2m^2-6m-2m^2+5m-3=-m-3$

$A^{\mathrm{\prime }}(m)={\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{(m-1)(-m-3)}{{(m^2-3m)}^2}}={\displaystyle \frac{-3(m-1)(m+3)}{2m^2(m-3{)}^2}}$

$A^{\mathrm{\prime }}(m)=0\Rightarrow m=1\text{ o }m=-3$

Se descarta $m=1$, porque no es negativa: con esa pendiente la recta $r$ pasaría por el origen y no habría triángulo. Estudiamos el signo de $A^{\mathrm{\prime }}(m)$ en el intervalo válido; el denominador es un cuadrado y siempre es positivo, y en $m<0$ el factor $-3(m-1)$ es positivo, así que el signo lo marca $m+3$.



La función decrece antes de $m=-3$ y crece después, luego ahí hay un mínimo.

$A(-3)={\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{(-3-1{)}^2}{(-3{)}^2-3\cdot (-3)}}={\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{16}{18}}={\displaystyle \frac{4}{3}}$

El terreno más barato es el que se obtiene con una pendiente $m=-3$, y su área vale ${\displaystyle \frac{4}{3}}\approx \mathrm{1,33}$ unidades cuadradas.