Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2026

Pregunta 2 (2 puntos)

Sea $P(x,y)$ un punto del primer cuadrante que está en la gráfica de la función $g(x)=\sqrt{x+1}$.

a) (0,5 ptos.) Demuestre que la distancia de $P(x,y)$ al punto $A(2,0)$ viene dada por la función $f(x)=\sqrt{x^2-3x+5}$.

b) (1 pto.) Determine el valor de $x$ para que la distancia a $A$ sea mínima.

c) (0,5 ptos.) Calcule esa distancia mínima.

Como $P$ está en la gráfica de $g$, su ordenada no es libre: $P(x,\sqrt{x+1})$. Se aplica la fórmula de la distancia entre dos puntos del plano.

$d(P,A)=\sqrt{(x-2{)}^2+{(\sqrt{x+1}-0)}^2}$

$d(P,A)=\sqrt{x^2-4x+4+x+1}$

$d(P,A)=\sqrt{x^2-3x+5}=f(x)$



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathit{x}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{a}}\mathit{A}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nima.}}(1\text{ pto.})$

Se busca el mínimo de $f$ derivando e igualando a cero. El radicando $x^2-3x+5$ tiene discriminante negativo, luego es siempre positivo y la raíz está definida en todo el dominio del problema.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2x-3}{2\sqrt{x^2-3x+5}}}$

Una fracción se anula cuando lo hace su numerador.

$2x-3=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{3}{2}}$

El denominador es siempre positivo, así que el signo de $f^{\mathrm{\prime }}$ es el de $2x-3$: negativo antes de $\frac{3}{2}$ y positivo después.

$f^{\mathrm{\prime }}(1)={\displaystyle \frac{-1}{2\sqrt{3}}}<0;f^{\mathrm{\prime }}(2)={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{3}}}>0$

La función pasa de decrecer a crecer, de modo que en $x={\displaystyle \frac{3}{2}}$ hay un mínimo. El punto buscado es $P({\displaystyle \frac{3}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{2}})$, que está en el primer cuadrante como pide el enunciado.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{esa}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nima.}}(\mathrm{0,5}\text{ ptos.})$

Basta evaluar la función distancia en el valor obtenido.

$f\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)=\sqrt{{\displaystyle \frac{9}{4}}-{\displaystyle \frac{9}{2}}+5}=\sqrt{{\displaystyle \frac{11}{4}}}$

$f\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{11}}{2}}\approx \mathrm{1,66}$

La distancia mínima entre el punto $A$ y la curva es de ${\displaystyle \frac{\sqrt{11}}{2}}$ unidades.