Examen de Matemáticas II de Cataluña 2023 (convocatoria ordinaria)

Calcule los coeficientes $a$, $b$, $c$ y $d$ de la función $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ si sabemos que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f$ en el punto de inflexión $(1,0)$ es $y=-3x+3$ y que la función tiene un extremo relativo en el punto de la gráfica de abscisa $x=0$. [2,5 puntos]

Considere las dos matrices siguientes:

$A=\left(\begin{array}{ccc}2& -3& -5\\ -1& 4& 5\\ 1& -3& -4\end{array}\right)B=\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 0\\ -1& -1& 0\\ 1& 2& 1\end{array}\right)$

a) Calcule las matrices $A\cdot B$ y $B\cdot A$. [1,5 puntos]
b) Sean $C$ y $D$ dos matrices cuadradas del mismo orden que satisfagan $C\cdot D=C$ y $D\cdot C=D$. Compruebe que las dos matrices, $C$ y $D$, son idempotentes. [1 punto]
Nota: Una matriz cuadrada se llama idempotente si coincide con su cuadrado.

Sea $f^{\mathrm{\prime }}(x)=\{\begin{array}{ll}x-1,& \text{si }x\le 2\\ {\displaystyle \frac{1}{x-1}},& \text{si }x>2\end{array}$ la función derivada de una función derivable $f(x)$ que pasa por el punto $A=(0,3)$.

a) Calcule la función $f(x)$. [1,5 puntos]
b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la función $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ en el punto de abscisa $x=3$. [1 punto]

Sea el sistema de ecuaciones lineales siguiente, que depende del parámetro real $\lambda$:

$\{\begin{array}{l}x+2\lambda y+(2+\lambda )z=0\\ (2+\lambda )x+y+2\lambda z=3\\ 2\lambda x+(2+\lambda )y+z=-3\end{array}$

a) Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro $\lambda$. [1,25 puntos]
b) Para el caso $\lambda =-1$, resuelva el sistema, interprételo geométricamente e identifique su solución. [1,25 puntos]

Nuria tiene un jardín rectangular y quiere hacer en él un cercado (rectangular o cuadrado) de $8{\mathrm{m}}^2$ para su perro. Ha pensado poner el cercado tocando el muro del jardín, tal como se muestra en la figura de la derecha, para ahorrarse así uno de los cuatro lados.
El precio de la valla que quiere utilizar es de 2,5 €/m.



a) ¿Qué dimensiones ha de tener el cercado para que el coste sea mínimo? ¿Cuál es este coste mínimo? [1,75 puntos]
b) Si mantiene la forma rectangular o cuadrada del cercado y hace que uno de los vértices del jardín coincida con un vértice del cercado, ¿cuántos euros se puede ahorrar? Razone cómo pondría el cercado y justifique con cálculos matemáticos las dimensiones de su propuesta. [0,75 puntos]

Sean los planos ${\pi }_1$ y ${\pi }_2$, determinados respectivamente por las ecuaciones ${\pi }_1:x+y=3$ y ${\pi }_2:x-z=-2$.

a) Encuentre la ecuación general ($Ax+By+Cz+D=0$) del plano ${\pi }_3$, que es perpendicular a ${\pi }_1$ y ${\pi }_2$, y que pasa por el punto $P=(4,1,2)$. [0,75 puntos]
b) Sea $r$ la recta de intersección de ${\pi }_1$ y ${\pi }_2$. Calcule la ecuación vectorial de la recta $r$. [0,75 puntos]
c) Calcule el punto $Q$ de la recta $r$ que está más cerca del punto $P$. [1 punto]