Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2023

Calcule los coeficientes $a$, $b$, $c$ y $d$ de la función $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ si sabemos que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f$ en el punto de inflexión $(1,0)$ es $y=-3x+3$ y que la función tiene un extremo relativo en el punto de la gráfica de abscisa $x=0$. [2,5 puntos]

Hay cuatro incógnitas, así que necesitamos cuatro condiciones. Traducimos a ecuaciones cada uno de los datos del enunciado, para lo cual calculamos primero la derivada primera y la segunda.

$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3a{x}^2+2bx+c$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6ax+2b$

i) La gráfica pasa por el punto $(1,0)$:

$f(1)=0\Rightarrow a+b+c+d=0$

ii) Ese punto es de inflexión, y en un punto de inflexión de una función polinómica se anula la derivada segunda:

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)=0\Rightarrow 6a+2b=0\Rightarrow b=-3a$

iii) La pendiente de la recta tangente en $x=1$ es la derivada en ese punto, y la recta $y=-3x+3$ tiene pendiente $-3$:

$f^{\mathrm{\prime }}(1)=-3\Rightarrow 3a+2b+c=-3$

iv) Hay un extremo relativo en $x=0$, luego la derivada se anula ahí:

$f^{\mathrm{\prime }}(0)=0\Rightarrow c=0$

Sustituimos ahora las condiciones ii) y iv) en la iii) y despejamos.

$3a+2(-3a)+0=-3\Rightarrow -3a=-3\Rightarrow a=1$

$b=-3a=-3,c=0$

$a+b+c+d=0\Rightarrow 1-3+0+d=0\Rightarrow d=2$

Comprobamos que la función obtenida cumple todo lo que pide el enunciado.

$f(x)=x^3-3x^2+2,f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-6x,f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6x-6$

$f(1)=1-3+2=0,f^{\mathrm{\prime }}(1)=3-6=-3,f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)=0,f^{\mathrm{\prime }}(0)=0$

Además $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)=-6<0$, así que en $x=0$ hay efectivamente un extremo relativo, un máximo.

Los coeficientes pedidos son $a=1$, $b=-3$, $c=0$ y $d=2$, es decir, la función es $f(x)=x^3-3x^2+2$.