Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2020

Sea $f(x)$ una función derivable cuya gráfica pasa por el punto $(0,1)$. La gráfica de su derivada, $f^{\mathrm{\prime }}(x)$, es la que se muestra en la figura.



a) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x)$ en el punto de la gráfica de abscisa $x=0$. [1,25 puntos]
b) Encuentre las abscisas de los puntos singulares de la función $f(x)$ y clasifíquelos. [1,25 puntos]

La recta tangente en el punto de abscisa $x=0$ es $y-f(0)=f^{\mathrm{\prime }}(0)(x-0)$, así que necesitamos dos datos: la ordenada del punto y la pendiente.

El primero lo da el enunciado, que dice que la gráfica de $f$ pasa por $(0,1)$.

$f(0)=1$

El segundo se lee en la figura: la pendiente de la tangente es el valor de la derivada, y la gráfica que se muestra es precisamente la de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$.

$f^{\mathrm{\prime }}(0)=-4$

$y-1=-4(x-0)\Rightarrow y=-4x+1$

La recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto $(0,1)$ es $y=-4x+1$.



Los puntos singulares son aquellos en los que se anula la derivada, es decir, los cortes de la gráfica de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ con el eje de abscisas. En la figura se ven tres.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x=-2,x=-1,x=1$

Para clasificarlos basta leer en la figura el signo de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ a cada lado, porque donde la derivada es positiva la función crece y donde es negativa decrece.

$x<-2\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)>0\Rightarrow f\text{ es creciente}$

$-2<x<-1\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)>0\Rightarrow f\text{ es creciente}$

$-1<x<1\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)<0\Rightarrow f\text{ es decreciente}$

$x>1\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)>0\Rightarrow f\text{ es creciente}$

En $x=-2$ la gráfica de la derivada toca el eje sin atravesarlo, de modo que $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ no cambia de signo: la función crece antes y después y no hay extremo, sino un punto de inflexión con tangente horizontal.

En $x=-1$ la derivada pasa de positiva a negativa, así que $f$ pasa de creciente a decreciente: hay un máximo relativo.

En $x=1$ la derivada pasa de negativa a positiva, así que $f$ pasa de decreciente a creciente: hay un mínimo relativo.

Los puntos singulares están en $x=-2$, $x=-1$ y $x=1$: el primero es un punto de inflexión de tangente horizontal, el segundo un máximo relativo y el tercero un mínimo relativo.