Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2023

Sea la función $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$.

a) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f$ en el punto de abscisa $x=2$. [0,75 puntos]
b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f$ en el punto de abscisa $x=k$, donde $k$ es un número real positivo. [0,75 puntos]
c) Compruebe que, tal como se puede ver en la figura de abajo, la recta del apartado b determina un triángulo de área constante con los semiejes positivos de coordenadas. Calcule esta área. [1 punto]

La recta tangente en el punto de abscisa $x=2$ es $y-f(2)=f^{\mathrm{\prime }}(2)(x-2)$, así que calculamos la derivada y evaluamos.

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}=x^{-1}\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)=-x^{-2}=-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$

$f(2)={\displaystyle \frac{1}{2}},f^{\mathrm{\prime }}(2)=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$

$y-{\displaystyle \frac{1}{2}}=-{\displaystyle \frac{1}{4}}(x-2)\Rightarrow y=-{\displaystyle \frac{1}{4}}x+{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}$

$y=-{\displaystyle \frac{1}{4}}x+1$

La recta tangente en el punto de abscisa $x=2$ es $y=-{\displaystyle \frac{1}{4}}x+1$.



Repetimos el cálculo anterior dejando la abscisa como parámetro.

$f(k)={\displaystyle \frac{1}{k}},f^{\mathrm{\prime }}(k)=-{\displaystyle \frac{1}{k^2}}$

$y-{\displaystyle \frac{1}{k}}=-{\displaystyle \frac{1}{k^2}}(x-k)\Rightarrow y=-{\displaystyle \frac{x}{k^2}}+{\displaystyle \frac{1}{k}}+{\displaystyle \frac{1}{k}}$

$y=-{\displaystyle \frac{x}{k^2}}+{\displaystyle \frac{2}{k}}$

Para $k=2$ se recupera la recta del apartado a), lo que confirma el resultado.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Compruebe}}\mathbf{\text{que,}}\mathbf{\text{tal}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{puede}}\mathbf{\text{ver}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{figura}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{abajo,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{apartado}}\mathbf{\text{b}}\mathbf{\text{determina}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{tri}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{de}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{constante}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{semiejes}}\mathbf{\text{positivos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{coordenadas.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{esta}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El triángulo tiene los catetos sobre los semiejes positivos, de modo que sus vértices son el origen y los dos puntos de corte de la recta con los ejes. Calculamos esos cortes.

$x=0\Rightarrow y={\displaystyle \frac{2}{k}}\Rightarrow \text{corte con }OY:(0,{\displaystyle \frac{2}{k}})$

$y=0\Rightarrow -{\displaystyle \frac{x}{k^2}}+{\displaystyle \frac{2}{k}}=0\Rightarrow {\displaystyle \frac{x}{k^2}}={\displaystyle \frac{2}{k}}\Rightarrow x=2k\Rightarrow \text{corte con }OX:(2k,0)$

Como $k>0$, los dos cortes caen en los semiejes positivos. Los catetos del triángulo rectángulo miden $2k$ y $\frac{2}{k}$.

$S={\displaystyle \frac{\text{base}\cdot \text{altura}}{2}}={\displaystyle \frac{2k\cdot {\displaystyle \frac{2}{k}}}{2}}={\displaystyle \frac{4}{2}}=2$

El área vale 2 unidades cuadradas sea cual sea $k>0$: el parámetro se cancela, de modo que todas las rectas tangentes a la hipérbola determinan con los semiejes positivos triángulos de la misma área.