Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2024

Resuelva los siguientes apartados:

a) Dada la función $f(x)=ax+b\sqrt{x}$, determine los valores de $a$ y $b$ sabiendo que $f(x)$ alcanza su máximo en $x=100$ y que pasa por el punto $(49,91)$. [5 puntos]

b) Dada la función

$g(x)={\displaystyle \frac{(x-1)\sqrt{x}}{x^2-1}},$

indique cuál es su dominio. ¿Es $g(x)$ una función continua en su dominio? Justifique la respuesta y, en caso negativo, indique qué tipo de discontinuidad presenta. [5 puntos]

Cada dato da una ecuación: que haya un extremo en $x=100$ obliga a que la derivada se anule ahí, y que la gráfica pase por $(49,91)$, a que la función valga 91 en $x=49$.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=a+{\displaystyle \frac{b}{2\sqrt{x}}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(100)=0\Rightarrow a+{\displaystyle \frac{b}{2\cdot 10}}=0\Rightarrow a+{\displaystyle \frac{b}{20}}=0\Rightarrow b=-20a$

$f(49)=91\Rightarrow 49a+b\sqrt{49}=91\Rightarrow 49a+7b=91$

Sustituimos la primera relación en la segunda:

$49a+7(-20a)=91\Rightarrow 49a-140a=91\Rightarrow -91a=91\Rightarrow a=-1$

$b=-20\cdot (-1)=20$

Falta comprobar que en $x=100$ hay realmente un máximo y no otro tipo de punto crítico. Con esos valores:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-1+{\displaystyle \frac{10}{\sqrt{x}}}$

que es positiva cuando $\sqrt{x}<10$ y negativa cuando $\sqrt{x}>10$.



La función pasa de creciente a decreciente en $x=100$, luego ahí hay un máximo, como pedía el enunciado. Los valores buscados son $a=-1$ y $b=20$, es decir, $f(x)=-x+20\sqrt{x}$.



Hay dos restricciones: la raíz exige radicando no negativo y el denominador no puede anularse.

$\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x^2-1\mathrm{\ne }0\Rightarrow x\mathrm{\ne }1\text{ y }x\mathrm{\ne }-1\end{array}$

El valor $x=-1$ ya queda fuera por la primera condición, de modo que

$\text{Dom}g=[0,1)\cup (1,+\mathrm{\infty })$

En su dominio, $g$ es cociente de funciones continuas con denominador no nulo, luego es continua. Sí es continua en todo su dominio.

Conviene además estudiar qué ocurre en $x=1$, el punto que se ha excluido. Simplificando el factor común:

$g(x)={\displaystyle \frac{(x-1)\sqrt{x}}{(x-1)(x+1)}}={\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{x+1}},x\mathrm{\ne }1$

${\lim }_{x\to 1}g(x)={\displaystyle \frac{\sqrt{1}}{1+1}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

El límite existe y es finito, pero la función no está definida ahí. Se trata, por tanto, de una discontinuidad evitable: bastaría definir $g(1)=\frac{1}{2}$ para que la función fuese continua en todo $[0,+\mathrm{\infty })$.