Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2025

El modelo logístico es un modelo matemático utilizado para describir la evolución de una población a lo largo del tiempo, cuando los recursos son limitados. Es uno de los modelos matemáticos más comunes en biología y describe cómo la población se estabiliza cuando alcanza la capacidad de carga del entorno, esto es, el tamaño máximo que puede alcanzar una población antes de que los recursos se vuelvan insuficientes, lo que genera competencia y, en muchos casos, una desaceleración de la tasa de crecimiento o una crisis en la población.

Un ejemplo de modelo logístico lo encontramos en las colonias de hormigas, que están compuestas por una red de túneles, entradas, cámaras de cría y áreas de almacenamiento, donde las hormigas establecen su hábitat.

Un grupo de investigadores ha estudiado el momento en el que unas hormigas forman una nueva colonia y ha modelizado el número de hormigas $H(t)$ después de $t$ meses con la función:

$H(t)={\displaystyle \frac{6400}{1+159e^{-\mathrm{0,5}t}}}$

a) ¿Cuántas hormigas formaron la nueva colonia inicialmente? [0,25 puntos]

b) ¿Cuál es la tasa media de crecimiento el primer año? ¿Y el segundo año? Interprete el resultado. [0,75 puntos]

c) Un observador afirma que el modelo siempre es creciente y entiende que la población de hormigas crece sin control. Justifique matemáticamente si esta afirmación es o no correcta. [0,75 puntos]

d) ¿En qué momento la colonia de hormigas alcanzará la mitad de su capacidad de carga? [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{hormigas}}\mathbf{\text{formaron}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{nueva}}\mathbf{\text{colonia}}\mathbf{\text{inicialmente?}}\mathbf{\text{[0,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El instante inicial es $t=0$, así que basta evaluar la función ahí.

$H(0)={\displaystyle \frac{6400}{1+159e^0}}={\displaystyle \frac{6400}{1+159}}={\displaystyle \frac{6400}{160}}=40$

La nueva colonia se formó inicialmente con 40 hormigas.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{tasa}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{primer}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o?}}\mathbf{\text{¿Y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{segundo}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o?}}\mathbf{\text{Interprete}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{resultado.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La tasa media de crecimiento en un intervalo es la tasa de variación media, es decir, el incremento de la población dividido entre el tiempo transcurrido. Los años se miden en meses: el primero es el intervalo $[0,12]$ y el segundo el intervalo $[12,24]$.

$H(12)={\displaystyle \frac{6400}{1+159e^{-6}}}\approx \mathrm{4590,70}$

$H(24)={\displaystyle \frac{6400}{1+159e^{-12}}}\approx \mathrm{6393,75}$

$\text{T.V.M.}[0,12]={\displaystyle \frac{H(12)-H(0)}{12-0}}={\displaystyle \frac{\mathrm{4590,70}-40}{12}}\approx \mathrm{379,23}$

$\text{T.V.M.}[12,24]={\displaystyle \frac{H(24)-H(12)}{24-12}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6393,75}-\mathrm{4590,70}}{12}}\approx \mathrm{150,25}$

Durante el primer año la colonia crece a razón de unas 379 hormigas por mes y durante el segundo a razón de unas 150 hormigas por mes. El crecimiento sigue siendo positivo, pero se ha reducido a menos de la mitad: la colonia se está acercando a la capacidad de carga del entorno y la competencia por los recursos frena su expansión.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Un}}\mathbf{\text{observador}}\mathbf{\text{afirma}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{modelo}}\mathbf{\text{siempre}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{creciente}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{entiende}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{poblaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{hormigas}}\mathbf{\text{crece}}\mathbf{\text{sin}}\mathbf{\text{control.}}\mathbf{\text{Justifique}}\mathbf{\text{matem}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ticamente}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{afirmaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{correcta.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La afirmación tiene dos partes y hay que comprobarlas por separado: el crecimiento se estudia con el signo de la derivada y el crecimiento sin control con el límite en el infinito.

$H(t)=6400{(1+159e^{-\mathrm{0,5}t})}^{-1}$

$H^{\mathrm{\prime }}(t)=-6400{(1+159e^{-\mathrm{0,5}t})}^{-2}\cdot 159\cdot (-\mathrm{0,5})e^{-\mathrm{0,5}t}={\displaystyle \frac{508800e^{-\mathrm{0,5}t}}{{(1+159e^{-\mathrm{0,5}t})}^2}}$

Una exponencial es siempre positiva y el denominador es un cuadrado no nulo, de modo que $H^{\mathrm{\prime }}(t)>0$ para todo $t$: el modelo es, en efecto, creciente en todo su dominio.

Ahora bien, crecer siempre no significa crecer sin límite. Calculamos el límite cuando el tiempo tiende a infinito:

${\lim }_{t\to +\mathrm{\infty }}H(t)={\lim }_{t\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{6400}{1+159e^{-\mathrm{0,5}t}}}={\displaystyle \frac{6400}{1+159\cdot 0}}={\displaystyle \frac{6400}{1}}=6400$



La primera parte de la afirmación es correcta y la segunda no: la población crece siempre, pero está acotada por la recta $H=6400$, que es una asíntota horizontal de la gráfica. Esas 6400 hormigas son precisamente la capacidad de carga del entorno, y la colonia se aproxima a ella sin llegar a superarla nunca.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{¿En}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{momento}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{colonia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{hormigas}}\mathbf{\text{alcanzar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{mitad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{capacidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{carga?}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La capacidad de carga es el valor al que tiende la población, 6400 hormigas, según se ha visto en el apartado anterior. Su mitad son 3200, así que se plantea la ecuación y se despeja el tiempo tomando logaritmos.

${\displaystyle \frac{6400}{1+159e^{-\mathrm{0,5}t}}}=3200$

$1+159e^{-\mathrm{0,5}t}=2\Rightarrow 159e^{-\mathrm{0,5}t}=1\Rightarrow e^{-\mathrm{0,5}t}={\displaystyle \frac{1}{159}}$

$-\mathrm{0,5}t=\ln {\displaystyle \frac{1}{159}}=-\ln 159\Rightarrow t=2\ln 159\approx \mathrm{10,14}$

La colonia alcanza la mitad de su capacidad de carga a los $\mathrm{10,14}$ meses, es decir, a los 10 meses y 4 días aproximadamente.