Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2020

Halle los valores de $a$ y $b$ para que la recta de ecuación $y=6x+a$ sea tangente a la curva $f(x)={\displaystyle \frac{bx-1}{bx+1}}$ en el punto de abscisa $x=0$. Escriba las funciones que se obtienen. [2,5 puntos]

Que una recta sea tangente a una curva en un punto significa dos cosas a la vez: que ambas pasan por ese punto y que la pendiente de la recta coincide con el valor de la derivada de la función allí. Cada condición proporciona una ecuación, y con ellas se determinan los dos parámetros.

Empezamos por la pendiente, que es la que da $b$ sin necesidad de conocer $a$.

$f(x)={\displaystyle \frac{bx-1}{bx+1}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{b(bx+1)-(bx-1)b}{(bx+1{)}^2}}={\displaystyle \frac{b^{2}x+b-b^{2}x+b}{(bx+1{)}^2}}={\displaystyle \frac{2b}{(bx+1{)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(0)={\displaystyle \frac{2b}{1^2}}=2b$

La pendiente de la recta $y=6x+a$ es 6, luego

$2b=6\Rightarrow b=3$

Para la segunda condición calculamos la ordenada del punto de tangencia, que no depende de $b$:

$f(0)={\displaystyle \frac{b\cdot 0-1}{b\cdot 0+1}}={\displaystyle \frac{-1}{1}}=-1$

El punto de tangencia es $(0,-1)$, y la recta ha de pasar por él:

$-1=6\cdot 0+a\Rightarrow a=-1$

Comprobamos que con esos valores la recta y la curva se tocan en $x=0$ con la misma pendiente:

$f(0)=-1=6\cdot 0-1;f^{\mathrm{\prime }}(0)=2\cdot 3=6$

Los parámetros valen $a=-1$ y $b=3$. Las funciones que se obtienen son la recta $y=6x-1$ y la curva $f(x)={\displaystyle \frac{3x-1}{3x+1}}$.