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Examen de Matemáticas II de Islas Canarias 2020 (convocatoria extraordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Islas Canarias, convocatoria extraordinaria de 2020. Aquí hay 8 ejercicios publicados, 8 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Integrales y Áreas

Responda razonadamente a las siguientes cuestiones:

a) Calcule

\int_{0}^{π / 2} x \cos x d x

. [1,25 puntos]

b) Halle las asíntotas de la función

f (x) = \frac{x^{3} + 5 x^{2}}{x^{2} - 1}

. [1,25 puntos]

Ver la solución del ejercicio 1

Ejercicio 2: Matrices

Dadas las matrices:

A = (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 9 \\ 10 & - 3 & 5 \end{array}) B = (\begin{array}{ccc} 2 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 9 \\ 10 & - 3 & 4 \end{array}) C = (\begin{array}{cc} - 1 & 0 \\ - 3 & - 1 \\ 6 & 0 \end{array})

Se plantea la siguiente ecuación matricial:

X \cdot A - C^{t} = X \cdot B

a) Justifique razonadamente cuál es la dimensión de la matriz

X

. [0,5 puntos]

b) Halle la matriz

X

que cumple la ecuación. [2 puntos]

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Rectas y Planos

Dada la recta

r : {\begin{cases} x = - 2 λ \\ y = 2 + λ \\ z = 2 + λ \end{cases}

, y dado el plano

π \equiv x - 3 y + 5 z = 2

a) ¿Cuál es la posición relativa de la recta

r

y el plano

π

? [1,25 puntos]

b) Calcule el plano

π^{'}

que contiene a la recta

r

y es perpendicular al plano

π

. [1,25 puntos]

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Distribución binomial

Si una bombilla fluorescente presenta un 90 % de posibilidades de tener una vida útil de al menos 800 horas, seleccionando 20 bombillas fluorescentes de este tipo, justifique si las siguientes afirmaciones son ciertas:

a) Al seleccionar exactamente 18 bombillas fluorescentes, más del 30 % tienen una vida útil de al menos 800 horas. [1 punto]

b) La probabilidad de que dos bombillas fluorescentes o menos NO tengan una duración de al menos 800 horas es menor que 0,7. [1 punto]

c) El valor esperado de bombillas con una vida útil de al menos 800 horas si se toma una muestra de 100 bombillas fluorescentes es igual a 10. [0,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Derivadas

Halle los valores de

a

b

para que la recta de ecuación

y = 6 x + a

sea tangente a la curva

f (x) = \frac{b x - 1}{b x + 1}

en el punto de abscisa

x = 0

. Escriba las funciones que se obtienen. [2,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Sistemas de ecuaciones

Sea el siguiente sistema de ecuaciones:

\begin{array}{r} k x + 2 y + 6 z = 0 \\ 2 x + k y + 4 z = 2 \\ 2 x + k y + 6 z = k - 2 \end{array}}

a) Discuta el sistema según los valores del parámetro

k

. [1,75 puntos]

b) Resuelva el sistema para

k = 0

. [0,75 puntos]

Ver la solución del ejercicio 6

Ejercicio 7: Rectas y Planos

Consideremos el punto

A (1, 2, 1)

, y la recta

r : {\begin{cases} x + y = 5 \\ 3 y + z = 14 \end{cases}

a) Encuentre la ecuación del plano

π

que contiene al punto

A

y es perpendicular a la recta

r

. [1,5 puntos]

b) Consideremos

P (1, 4, 2)

, un punto de la recta

r

. Y sea

s

la recta determinada por los puntos

A

P

. Calcule el ángulo que forman las rectas

r

s

. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 7

Ejercicio 8: Probabilidad

Mi despertador no funciona muy bien, pues el 20 % de las veces no suena. Cuando suena, llego tarde a clase el 20 % de las veces; pero si no suena, la probabilidad de que llegue tarde es 0,9.

a) Represente el diagrama de árbol del problema. [0,5 puntos]

b) Justifique si el porcentaje de veces que llego tarde a clase y ha sonado el despertador es mayor que el 20 %. [0,75 puntos]

c) Justifique si la probabilidad de que no llegue tarde a clase es menor que 0,5. [0,75 puntos]

d) Si un día llego tarde a clase, ¿cuál es la probabilidad de que haya sonado el despertador? [0,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 8