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Examen de Matemáticas II de Islas Canarias 2022 (convocatoria extraordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Islas Canarias, convocatoria extraordinaria de 2022. Aquí hay 8 ejercicios publicados, 8 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Derivadas

Resuelva los siguientes apartados:

a) Considere la función f(x)=ax3+bx2+cx+d. Calcule los coeficientes a, b, c y d, sabiendo que f tiene un extremo relativo en el punto P(0,1) y su gráfica tiene un punto de inflexión Q(1,−1). Dé la expresión de la función f(x). [1,75 puntos]

b) Resuelva el siguiente límite: lim⁡x→0ex+e−x−21−cos⁡x [0,75 puntos]

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Ejercicio 2: Integrales y Áreas

Considere las siguientes funciones: y=3x−x2; y=x−3

a) Represente el recinto que encierran las dos funciones anteriores. [1,5 puntos]

b) Calcule el área del recinto limitado por las funciones anteriores. [1 punto]

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Ejercicio 3: Matrices

Resuelva los siguientes apartados:

a) Dadas las matrices A=(1101) y B=(−1101), para k∈R sea C la matriz dada por:

C=At+k B⋅A

Averigüe para qué valores de k la matriz C tiene rango 2. [0,75 puntos]

b) Encuentre la matriz X, de dimensión 3×3, que verifica Mt⋅X=I−M, donde M=(0101−1001−1). [1,75 puntos]

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Ejercicio 4: Sistemas de ecuaciones

Considere el siguiente sistema de ecuaciones:

{2x+6y+kz=0kx+4y+2z=2kx+6y+2z=k−2

a) Discuta la resolución del sistema según los valores que puede tomar el parámetro k. [1,5 puntos]

b) Resuelva el sistema cuando el parámetro k toma el valor k=0. [1 punto]

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Ejercicio 5: Rectas y Planos

Resuelva los siguientes problemas del espacio tridimensional:

a) Dadas las rectas r:{x+y+z+1=02x−y+3z−2=0 y s:{x=−1+2λy=1+λz=−1−3λ, estudie la posición relativa entre r y s. [1,5 puntos]

b) Halle la ecuación del plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano π:2x−y+z−5=0. [1 punto]

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Ejercicio 6: Rectas y Planos

En el espacio tridimensional se conocen las ecuaciones de la recta y el plano siguientes:

r≡{−3x+2y=5−4y+3z+7=0yπ≡5x−6y+7z+58=0

a) Sabiendo que la recta r y el plano π se cortan en un punto A, dé la ecuación de la recta s, perpendicular al plano π, que pasa por dicho punto A. [1,5 puntos]

b) Calcule el ángulo que forman la recta r y el plano π. [1 punto]

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Ejercicio 7: Distribución binomial

El 10 % de la población de Canarias tiene alergia a la flor del olivo. Con esta información, responda a las siguientes preguntas:

a) En una muestra de 100 individuos, ¿qué probabilidad hay de que más de 12 seleccionados tengan alergia a la flor del olivo? [1 punto]

b) Se toma una muestra de 400 individuos, ¿cuál es la probabilidad de que menos de 32 seleccionados tengan alergia a la flor del olivo? [1 punto]

c) En una muestra de 500 individuos, ¿cuál es el número esperado de individuos que no tendrán alergia a la flor del olivo? [0,5 puntos]

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Ejercicio 8: Distribución binomial

Una prueba, utilizada para determinar la presencia de plomo en una aleación de acero, es errónea en 8 de cada 100 análisis realizados.

a) Se realizan 10 análisis con esta prueba, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 3 de estos análisis sean erróneos? [1 punto]

b) Compruebe si es cierta la siguiente afirmación: «En 10 análisis realizados con esta prueba, hay menos de un 5 % de posibilidades de encontrar más de dos análisis erróneos». [1 punto]

c) Si se realizan 100 análisis con esta prueba, ¿cuál es el número esperado de análisis correctos? [0,5 puntos]

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