Examen de Matemáticas II de Islas Canarias 2022 (convocatoria ordinaria)

Dada la función:

$f(x)=\{\begin{array}{ll}(x-1{)}^2+bx& \text{si }x<1\\ a+\ln x& \text{si }x\ge 1\end{array}$

a) Estudie los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x)$ sea continua y derivable en $\mathbb{R}$. Escriba la función resultante $f(x)$. [1,5 puntos]

b) Tomando los valores $a=-2$ y $b=1$, calcule la ecuación de la recta tangente a $f(x)$ en $x=e$. [1 punto]

Realice el cálculo de las siguientes integrales:

a) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x+4}{x^2+4}}dx}$ [1,25 puntos]

b) ${\displaystyle {\int }_1^e{\displaystyle \frac{(\ln x{)}^3}{x}}dx}$ [1,25 puntos]

Averigüe qué dos matrices de dimensiones $3\times 3$, $X$ e $Y$, verifican las siguientes condiciones:

— La suma de ambas matrices $X$ e $Y$ da como resultado la matriz $I_3$ (siendo $I_3$ la matriz identidad $3\times 3$).

— Siendo $A=\left(\begin{array}{ccc}9& 0& -7\\ 14& -12& 0\\ 0& -7& -5\end{array}\right)$, la matriz traspuesta de $A$ es el resultado de realizar la resta del doble de la matriz $X$ y cinco veces la matriz $Y$.

[2,5 puntos]

Dado el siguiente sistema de ecuaciones con un parámetro $k$:

$\begin{array}{r}kx-y-z=1\\ x+ky+2kz=k\\ x+y+z=-1\end{array}\}$

a) Discuta la resolución del sistema de ecuaciones, según los valores que pueda tomar el parámetro $k$. [1,5 puntos]

b) Resuelva el sistema para $k=1$. [1 punto]

En el espacio tridimensional conocemos las ecuaciones de las rectas siguientes:

$r\equiv \{\begin{array}{l}3x-2y=-1\\ 4y-3z=-1\end{array}s\equiv \{\begin{array}{l}x+4y+12=0\\ 6y+z+13=0\end{array}$

a) Estudie la posición relativa de las rectas $r$ y $s$. [1,25 puntos]

b) Calcule la ecuación del plano $\pi$ paralelo a la recta $s$ que contiene a la recta $r$. Halle el punto de corte de dicho plano $\pi$ con la recta $t\equiv {\displaystyle \frac{x+4}{-1}}={\displaystyle \frac{y-8}{3}}=z-2$. [1,25 puntos]

En el espacio tridimensional conocemos las ecuaciones siguientes:

$\pi \equiv \{\begin{array}{l}x=1+t+4s\\ y=1+s\\ z=3-2t-5s\end{array};r_1\equiv {\displaystyle \frac{x+4}{5}}={\displaystyle \frac{y+5}{6}}={\displaystyle \frac{z-1}{0}};r_2\equiv \{\begin{array}{l}4x+3y=7\\ y+4z=5\end{array}$

a) Calcule la ecuación de la recta $s$, perpendicular al plano $\pi$ y que contiene el punto de intersección de las rectas $r_1$ y $r_2$. [1,25 puntos]

b) ¿Es cierto que el ángulo entre las rectas $r_1$ y $r_2$ es menor de ${45}^{\circ }$? Justifíquelo. [1,25 puntos]

Tenemos una caja con bolas de madera y de plástico de distintos colores, pero con el mismo tamaño y aspecto. Contamos con la siguiente información de su contenido:

— El 38 % son bolas azules y, de este color, la mitad son de madera.

— El 29 % son bolas rojas y, de este color, las tres cuartas partes son de madera.

— El 33 % son bolas verdes y, de este color, dos tercios son de madera.

Extraemos una bola de la caja. Responda a las siguientes preguntas:

a) Construya el árbol de probabilidades. [0,5 puntos]

b) Calcule la probabilidad de que, al sacar una bola al azar de la caja, esta sea de madera. [1 punto]

c) Si la bola extraída de la caja es de plástico, ¿qué probabilidad hay de que sea de color rojo? [1 punto]

El número de ventas diarias de periódicos en un quiosco se distribuye como una distribución normal de media 30 periódicos y desviación típica $\sqrt{2}$. Determine:

a) La probabilidad de que en un día se vendan entre 28 y 31 periódicos. [1 punto]

b) Justifique si es cierto que la probabilidad de vender más de 32 periódicos es menor que 0,1. [0,75 puntos]

c) El dueño del quiosco considera que su puesto está situado en una buena zona, ya que sabe que hay más de un 80 % de posibilidades de vender más de 29 periódicos diarios. ¿Está en lo cierto? Justifíquelo. [0,75 puntos]