Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2022

Tenemos una caja con bolas de madera y de plástico de distintos colores, pero con el mismo tamaño y aspecto. Contamos con la siguiente información de su contenido:

— El 38 % son bolas azules y, de este color, la mitad son de madera.

— El 29 % son bolas rojas y, de este color, las tres cuartas partes son de madera.

— El 33 % son bolas verdes y, de este color, dos tercios son de madera.

Extraemos una bola de la caja. Responda a las siguientes preguntas:

a) Construya el árbol de probabilidades. [0,5 puntos]

b) Calcule la probabilidad de que, al sacar una bola al azar de la caja, esta sea de madera. [1 punto]

c) Si la bola extraída de la caja es de plástico, ¿qué probabilidad hay de que sea de color rojo? [1 punto]

Nombrando los sucesos:

$A\equiv$ la bola extraída es azul

$R\equiv$ la bola extraída es roja

$V\equiv$ la bola extraída es verde

$M\equiv$ la bola extraída es de madera

$P\equiv$ la bola extraída es de plástico

Los tres colores forman un sistema completo de sucesos, ya que sus porcentajes suman el total:

$P(A)=\mathrm{0,38},P(R)=\mathrm{0,29},P(V)=\mathrm{0,33}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Construya}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rbol}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{probabilidades.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

En cada color el enunciado da la proporción de bolas de madera; la de plástico es su complementaria.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que,}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{sacar}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{bola}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{caja,}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{madera.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Se aplica el teorema de la probabilidad total: se suman las tres ramas del árbol que terminan en $M$.

$P(M)=P(A)\cdot P(M\mathrm{\mid }A)+P(R)\cdot P(M\mathrm{\mid }R)+P(V)\cdot P(M\mathrm{\mid }V)$

$=\mathrm{0,38}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}+\mathrm{0,29}\cdot {\displaystyle \frac{3}{4}}+\mathrm{0,33}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}$

$=\mathrm{0,19}+\mathrm{0,2175}+\mathrm{0,22}=\mathrm{0,6275}$

La probabilidad de que la bola extraída sea de madera es $\mathrm{0,6275}$, es decir, un $\mathrm{62,75}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{bola}}\mathbf{\text{extra}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{da}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{caja}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{pl}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{stico,}}\mathbf{\text{¿qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{color}}\mathbf{\text{rojo?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Se conoce el material y se pregunta por el color, es decir, se va del efecto a la causa: se aplica el teorema de Bayes. En el denominador va la probabilidad de que la bola sea de plástico, complementaria de la del apartado anterior.

$P(P)=1-P(M)=1-\mathrm{0,6275}=\mathrm{0,3725}$

$P(R\cap P)=P(R)\cdot P(P\mathrm{\mid }R)=\mathrm{0,29}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}=\mathrm{0,0725}$

$P(R\mathrm{\mid }P)={\displaystyle \frac{P(R\cap P)}{P(P)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,0725}}{\mathrm{0,3725}}}={\displaystyle \frac{29}{149}}\approx \mathrm{0,1946}$

Si la bola extraída es de plástico, la probabilidad de que sea roja es ${\displaystyle \frac{29}{149}}\approx \mathrm{0,1946}$, esto es, un $\mathrm{19,46}\mathrm{\%}$.