Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2024

En una residencia de ancianos el 80 % de los residentes tiene cuenta de correo electrónico, el 60 % tiene redes sociales, y el 10 % no tiene ni correo electrónico ni redes sociales. Calcule la probabilidad:

a) De que un residente use correo electrónico y redes sociales. [0,5 puntos]

b) De que un residente use sólo una de las dos cosas. [0,75 puntos]

c) De que un residente use correo electrónico sabiendo que no usa redes sociales. [0,75 puntos]

Llamamos $C$ al suceso «el residente tiene cuenta de correo electrónico» y $R$ al suceso «el residente tiene redes sociales». Los datos del enunciado son:

$P(C)=\mathrm{0,8}P(R)=\mathrm{0,6}P(\bar{C}\cap \bar{R})=\mathrm{0,1}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{De}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{residente}}\mathbf{\text{use}}\mathbf{\text{correo}}\mathbf{\text{electr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{nico}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{redes}}\mathbf{\text{sociales.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

No tener ninguna de las dos cosas es lo contrario de tener alguna, así que por las leyes de De Morgan obtenemos primero la probabilidad de la unión y de ahí despejamos la de la intersección.

$P(C\cup R)=1-P\left(\overline{C\cup R}\right)=1-P(\bar{C}\cap \bar{R})=1-\mathrm{0,1}=\mathrm{0,9}$

$P(C\cup R)=P(C)+P(R)-P(C\cap R)$

$\mathrm{0,9}=\mathrm{0,8}+\mathrm{0,6}-P(C\cap R)\Rightarrow P(C\cap R)=\mathrm{0,5}$

La probabilidad de que un residente use correo electrónico y redes sociales es $\mathrm{0,5}$, es decir, un $50\mathrm{\%}$.

Con este dato queda repartida la probabilidad de las cuatro zonas del espacio muestral:



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{De}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{residente}}\mathbf{\text{use}}\mathbf{\text{s}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{cosas.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Usar solo una de las dos cosas es usar alguna pero no las dos a la vez, de modo que a la unión le restamos la intersección.

$P\left(\text{solo una}\right)=P(C\cup R)-P(C\cap R)=\mathrm{0,9}-\mathrm{0,5}=\mathrm{0,4}$

La probabilidad de que un residente use solo una de las dos cosas es $\mathrm{0,4}$, es decir, un $40\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{De}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{residente}}\mathbf{\text{use}}\mathbf{\text{correo}}\mathbf{\text{electr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{nico}}\mathbf{\text{sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{usa}}\mathbf{\text{redes}}\mathbf{\text{sociales.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se trata de una probabilidad condicionada, que se calcula por su definición.

$P\left(\bar{R}\right)=1-P(R)=1-\mathrm{0,6}=\mathrm{0,4}$

$P(C\cap \bar{R})=P(C)-P(C\cap R)=\mathrm{0,8}-\mathrm{0,5}=\mathrm{0,3}$

$P\left(C\mathrm{\mid }\bar{R}\right)={\displaystyle \frac{P(C\cap \bar{R})}{P\left(\bar{R}\right)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,4}}}=\mathrm{0,75}$

La probabilidad de que un residente use correo electrónico sabiendo que no usa redes sociales es $\mathrm{0,75}$, es decir, un $75\mathrm{\%}$.